<<
>>

Формирование инвестиционного портфеля

На рынке представлено огромное количество всевозможных ценных бумаг, и большинство из них являются рискованными. Поэтому нет ничего удивительного в том, что на практике приходится иметь дело с инвестиционными портфелями, состоящими из рискованных активов нескольких типов.
Далее рассмотрим ряд практически важных задач, имеющих отношение к проблеме распределения инвестиций среди ценных бумаг с разной степенью риска.

В12 -г fx =В 11/КОРЕН Ь(С10*Р10) А В С D га Взаимозависимость ставок доходности 2 3 Вероятность Доходность акций А Доходность акций Б I 4 Сценарий 1 0,26 12% 13% 6 Сценарий 2 0,3 10% 9% 6 Сценарий 3 0.4 9% 7% 7 Сценарий 4 0.06 6% 5% 8 Матожидание 9,86% 9,00% Матожидание 9 произведения 0,92% 10 Дисперсия 0.03% 0 06% 11 Ковариация 0 04% Коэфициент 12 корреляции 0,926663906 Рис. 2.8. Прямая корреляция между ставками доходности

В первую очередь, хочется отметить тот факт, что ставки доходности по ценным бумагам разных типов могут оказаться взаимозависимыми. Другими словами, между различными типами динамики доходности активов прослеживается некоторое соответствие, и в этом случае говорят о статистической корреляции между ставками доходности ценных бумаг. Численной характеристикой такой корреляции может служить ковариация ставок доходности, которая вычисляется как разность математического ожидания произведения соответствующих случайных величин и произведения их математических ожиданий. Однако более удобным с практической точки зрения является такая характеристика, как коэффициент корреляции, который, по сути своей, является ковариацией, нормированной на корень квадратный из произведения дисперсий соответствующих случайных величин. Удобство состоит в том, что значение коэффициента корреляции лежит в пределах от -1 до 1, а это существенно облегчает формальный анализ статистических или вероятно- стных зависимостей.

Следует иметь в виду, что в принципе коэффициент корреляции может вычисляться как по прогнозируемым, так и по статистическим данным. Методика его расчета в каждом из этих случаев своя, однако радует то обстоятельство, что в Excel для каждого из этих случаев имеется специальная встроенная функция, которая позволяет вычислять соответствующие значения либо сразу, либо в несколько этапов. На рис 2.8 приведен пример документа с анализом взаимозависимости ставок доходности для различных ценных бумаг.

Прогнозируются четыре сценария развития ситуации, каждый из которых характеризуется определенной вероятностью реализации и набором значений ставок доходности по акциям двух типов А и Б. По этим данным вычисляется математическое ожидание (ожидаемое значение) для каждой из ставок доходности, а также математическое ожидание произведения этих ставок. Последняя характеристика понадобится при вычислении коэффициента корреляции . Формулы, вводимые в ячейки представленного документа, собраны в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Назначение ячеек на рис. 2.8 Ячейка Формула Описание C8 =СУММПРО- ИЗВ^^^^) Вычисление математического ожидания ставки доходности акций типа А. Значением является сумма произведений возможного значения ставки на вероятность реализации этого значения D8 =СУММПРО- ИЗВ^^^Ш) Вычисление математического ожидания ставки доходности акций типа Б B9 =СУММПРО- ИЗВ(B4:B7;C4:C7*D4:D7) Вычисление математического ожидания произведения ставок доходности обоех типов акций. Значение вычисляется как сумма произведений значений ставок доходности акций каждого типа на вероятность реализации соответствующего сценария. Поскольку предва-рительно вычисляется массив произведений ставок доходности (команда C4:C7*D4:D7), то формула вводится как формула массива, то есть путем нажатия комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter C10 =СУММПРО-

ИЗВ^^;^^^)^) Дисперсия для ставки доходности акций А. Вы-числяется как сумма произведений вероятностей реализации сценария на квадрат отклонения соответствующего значения ставки от ее математического ожидания.

В качестве одного из аргументов указан массив квадратов отклонений значений ставки от математического ожидания — вычисляется как (C4:C7-C8)A2, поэтому формула вводится как формула массива продолжение #

Отредактировал и опубликовал на сайте ¦ PRESSI ( HERSON )

Таблица 2.3 (продолжение) Ячейка Формула Описание D10 =СУММПРО- ИЗВ(В4:В7;ф4Ш^8)л2) Дисперсия для ставки доходности акций типа Б. Вычисляется аналогично предыдущему случаю. Формула массива B11 =B9-C8*D8 Вычисление ковариации для ставок доходности акций. Определяется как разность математического ожидания произведения ставок доходно-сти акций и произведения математических ожиданий этих величин B12 =B11/KOPEHb(C10*D10) Вычисление коэффициента корреляции для ставок доходности акций. Определяется как отношение ковариации к корню квадратному из произведения дисперсий 1

Что касается непосредственно коэффициента корреляции, то в документе на рис. 2.8 он весьма близок к единице, что свидетельствует о высокой степени взаимозависимости между значениями ставок доходности акций. Рост ставок доходности по одной из акций А предполагает рост ставок доходности и по другой, снижение ставок доходности происходит также синхронно. На рис. 2.9 для акций Б изменены значения ставок доходности (они размещены в обратном порядке). В этом случае коэффициент корреляции отрицателен и близок к минус единице.

СЮ fx |{=СУММПРОИЗВ(В4:В7;(СД:С7-С8)*2)}

А В | С | D

Взаимозависимость ставок доходности

Вероятность Доходность акций А Доходность акций В Сценарий 1 0,25 12% 5* Сценарий 2 0,3 10% 7% Сценарий 3 0,4 9% 9% Сценарий 4 0.05 5% 13% Матожидание 9,05% 7,60% Матожидание произведения 0,72% Дисперсия | I 0 03%1 0 04% Ковариация -0 03% Коэфициент корреляции -0,98524216 1 13 |

Рис. 2.9. Обратная корреляция между ставками доходности

Это означает, что между ставками доходности акций существует обратная корреляция: рост ставок доходности по одной из акций Б предполагает падение ставок доходности по другой и наоборот.

Выше коэффициент корреляции вычислялся на основе прогнозируемых дан-ных.

Другими словами, предполагалась известной вероятность реализации каж- дого из сценариев (равно как и возможные ставки доходности). В действитель-ности рассчитывать степень коррелированности между ставками доходности по ценным бумагам приходится на основе статистических данных. В этом случае, как отмечалось, процедура вычисления коэффициента корреляции (равно как и прочих статистических характеристик) несколько иная. Кроме того, при вычислении статистических параметров можно с успехом использовать встроенные функции Excel, специально для этого предназначенные. Пример приведен на рис. 2.10.

jk =КОРРЕЛ(В4:В15;С4:С15)

А В С | D Е

Вычисление коэффициента корреляции по статистическим данным

Ставка Ставка Месяц доходности доходности акций А акций Б Январь 5% 6% Февраль 7% 7% Март 3% 4% Апрель 2% 3% Май 5% 2% Июнь &% 4% Июль 3% 5% Август 6% 6% Сентябрь 8% 2% Октябрь 4% 1% Ноябрь 1% 3% Декабрь 7% 7% Среднее значение

Дисперсия

Ковариация

Коэффициент корреляции

4,75% 0.04% 0 0137500% 0.337785607І

4.17% 0.04% 0.0137500% 0,337735607

Рис. 2.10. Вычисление коэффициента корреляции на основе статистических данных

В документе приведено два набора статистических данных для значений ставок доходности по акциям А и Б на протяжении календарного года. На основе этих данных вычисляются среднее значение ставки доходности, дисперсии, а также ковариация и коэффициент корреляции. Причем последние два вычисляются разными способами: напрямую с помощью специальных встроенных функций Excel и через стандартные математические и статистические функции. Данные относительно использованных формул приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4. Назначение ячеек на рис. 2.10 Ячейка Формула Описание B17 =СРЗНАЧ(В4:В15) Вычисление средней ставки доходности за период для акций А продолжение #

Таблица 2.4 (продолжение)

Ячейка Формула Описание B18 =ДИСПР(В4:В15) Вычисление дисперсии (по генеральной совокупности) для ставки доходности акций А B19 =КОВАР(В4:В15;С4:С15) Вычисление ковариации с помощью встроенной функции Excel B20 =КОРРЕЛ(В4:В15;С4:С15) Вычисление коэффициента корреляции с помощью встроенной функции Excel C17 =СРЗНАЧ(С4:С15) Вычисление средней ставки доходности за период для акций Б C18 =ДИСПР(С4:С15) Вычисление дисперсии (по генеральной совокупности) для ставки доходности акций Б C19 =СРЗНАЧ(В4:В15*С4:С15)- Вычисление ковариации альтернативным B17*C17 способом. Формула вводится как формула массива C20 =С19/КОРЕНЬ(В18*С18) Коэффициент корреляции вычисляется как ковариация, деленная на корень квадратный из произведения дисперсий. Дисперсии вычисляются как для генеральной совокупности

В данном случае речь идет о выборочных характеристиках (то есть о характеристиках, которые вычисляются на основе данных выборки). Обычно в этом случае вычисляется выборочная дисперсия (в Excel для этих целей используют функцию ДИСП()). Однако, поскольку при вычислении коэффициента корреляции ис-пользуют дисперсию по генеральной совокупности (это, как известно, смещенная оценка), в документе использована функция ДИСПР() (вычисление дисперсии для генеральной совокупности).

Что касается значения коэффициента корреляции, то он достаточно мал, поэтому можно предположить, что в рассмотренном примере ставки доходности по акциям изменяются независимо друг от друга. Но не следует забывать, что из равенства нулю коэффициента корреляции независимость случайных величин не следует.

Приведенный выше анализ сам по себе мало полезен. Обычно подобные за-дачи решаются в рамках более масштабных исследований по формированию инвестиционных портфелей. Далее рассмотрим еще одну упрощенную и в некотором смысле вспомогательную задачу. Требуется распределить инвестируемые средства между двумя рискованными активами. Для определенности будем полагать, что первый актив характеризуется ожидаемой доходностью ^

и дисперсией о^, а второй — ожидаемой ставкой доходности и дисперсией

о2. Предположим также, что в первый фонд вкладывают часть средств, равную

х (тогда во второй фонд вкладывают часть средств, равную 1 - х). Можно показать, что в этом случае ожидаемая ставка доходности такого портфеля составляет

Е = x?1 + (1 - x)Е2, а дисперсия о2 = x2oj2 + (1 - x)2о2 + 2x(l - x)n12, где через n12 обозначена ковариация для ставок доходности каждого из активов. Принимая во

внимание, что коэффициент корреляции Р12 = ц12/(о1о2), можем также записать

9 9 9 9 9

о = x Oj + (1 - x) о2 + 2x(1 - x)o1o2p12. Из этих соотношений следует ряд достаточно интересных результатов. Во-первых, ожидаемая ставка доходности является линейной функцией параметра х, поэтому максимальной она будет либо при х = 0, либо при х = 1, в зависимости от значений ожидаемых ставок доходности по каждому из активов. Причем оптимизировать портфель путем выбора максимальной ожидаемой ставки доходности нет смысла. Во-вторых, дисперсия является квадратичной функцией параметра х. Минимальное значение дисперсии для портфеля

о 2(о 2-о1р12)

достигается при x = —2. . Если ставки доходности по каждому из

°1 +о 2 - 2о1о 2Р12

активов изменяются независимо друг от друга, то коэффициент корреляции равен

9 9 9 9 9

нулю и выражение для дисперсии портфеля примет вид о = x о9 + (1 - x) о2 , а

о2

минимальной дисперсия будет при x = 2 . В-третьих, поскольку и ожидае-

о +о 2

мая ставка доходности портфеля, и дисперсия являются функциями параметра х, можем рассматривать функциональную зависимость между ожидаемой ставкой доходности портфеля и дисперсией, причем зависимость задана в параметрическом виде, а параметром параметрической зависимости является переменная х. Именно с построения такой зависимости и начнем рассмотрение задачи по формированию портфеля. На рис. 2.11 представлены данные, на основе которых строится зависимость.

Документ условно состоит из трех частей. Ячейки B4 и C4 содержат значения ожидаемых ставок доходности по акциям А и Б, а в ячейках B5 и C5 представлены стандартные отклонения (корень квадратный из дисперсии) для ставок доходности акций. Коэффициент корреляции ставок доходности акций вводится в ячейку B6. Фактические данные, по которым строится кривая зависимости между ожидаемой ставкой доходности портфеля и стандартным отклонением (кривая инвестиционных возможностей), представлены в ячейках B9:C29. Ячейки A9:A29 содержат последовательность значений параметра х в диапазоне от 0 до 1 с шагом 0,05. Для каждого из этих значений вычисляются ожидаемая ставка доходности портфеля и стандартное отклонение. Эти данные представлены в диапазонах ячеек B9:B29 и C9:C29 соответственно. Заполняются ячейки следующим образом. В ячейку B9 вводится формула =A9*$B$4+(1-A9)*$C$4, после чего она копируется в прочие ячейки диапазона B9:B29. Диапазон ячеек C9:C29 заполняется копированием формулы =KOPEHb(A9A2*$B$5A2+(1-A9)A2*$C$5A2+2*A9*(1- A9)*$B$5*$C$5*$B$6) из ячейки C9.

Рис. 2.11. Кривая инвестиционных возможностей

Рис. 2.11. Кривая инвестиционных возможностей

Рис. 2.12. Кривая инвестиционных возможностей для значениякорреляции, равного 0,5коэффициента

Рис. 2.12. Кривая инвестиционных возможностей для значения

корреляции, равного 0,5

коэффициента

При построении кривой инвестиционных возможностей в качестве типа диаграммы рекомендуется выбрать точечную диаграмму с соединением точек сглаженными кривыми.

Построенная кривая инвестиционных возможностей (см. рис. 2.11) имеет характерную выпуклость, соответствующую минимальному значению стандартного отклонения портфеля. Причем достаточно важным при этом является значение коэффициента корреляции. В приведенном примере коэффициент корреляции равен нулю. При изменении значения коэффициента корреляции ситуация меняется. На рис. 2.12 показана кривая инвестиционных возможностей для коэффициента корреляции, равного 0,5.

При увеличении коэффициента корреляции выпуклость кривой уменьшается вплоть до того, что кривая трансформируется в прямую линию при значении ко-эффициента корреляции, равном 1 (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Кривая инвестиционных возможностей для значения коэффициента корреляции, равного 1

Рис. 2.13. Кривая инвестиционных возможностей для значения коэффициента корреляции, равного 1

Таким образом, изменяя долю инвестиций в каждый из фондов акций при формировании инвестиционного портфеля, двигаемся вдоль кривой инвестиционных возможностей. Чтобы остановиться где-то на этой кривой, нужен критерий оптимальности параметров портфеля. Ситуация с минимизацией стандартного отклонения обсуждалась выше. Рассмотрим ситуацию, когда известно идеальное соотношение ставки доходности и стандартного отклонения портфеля, а точка на кривой инвестиционных возможностей выбирается из условия минимума расстояния между этой точкой и точкой идеального портфеля. На рис. 2.14 помимо кривой инвестиционных возможностей показана еще и точка, соответствующая параметрам идеального портфеля (параметры указаны в ячейках D4 и D5). Задача сводится к тому, чтобы найти такую точку на кривой, которая была бы наименее удалена от указанной точки.

Разумеется, можно искать решение графически. Однако это не всегда лучший способ. Ведь в Excel для этих целей существует ряд эффективных утилит. Здесь воспользуемся надстройкой Поиск решения. Однако предварительно вынесем в отдельный рабочий лист основные параметры, на основе которых будет осуществляться поиск. Фрагмент соответствующего документа показан на рис. 2.15. .5 J& | 3% А В С D Е | F G Н і J 1 Кривая инвестиционных возможностей 2 3 Фонд акций А Фонд акций Б Оптимал 4

В Ожидаемая ставка доходности 12% 10% 12°/ Стандартное отклонение 5% 3% 32 [ Коэффициент корреляции 0 7 8 9 Доля инвестиций х Ставка Стандарти 1 і доходности отклонен 0 10.0% 3,00% 10 0,05 10,1% 2,86% 12,0% - 11 0,1 10,2% 2 76% ¦ 12 0,15 10,3% 2,66% ІЗІ 0,2 10,4% 2,60% 11,5% - 14 0,25 10,6% 2 57% І5І 0,3 10,6% 2 58% 16 0,35 10,7% 2,62% 11,0% - лг 17 0,4 10,8% 2,69% jT 18 0,45 10,9% 2,79% 10,5% - f 19 0,5 11,0% 2,92% і 20 0,55 11,1% 3,06% ~2ЇІ 0,6 11,2% 3 23% 10,0% - 22 0,65 11,3% 3,42% ~23І 0,7 11,4% 3,61% 24 0,75 11,5% 3,82% ~25І 0,8 11,6% 4,04% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00% 5,50% 26 0,85 11,7% 4,27% 27 0,9 11,8% 4,51% 28 0,95 11,9% 4,76% 29 1 12,0% 5,00% 30 Рис. 2.14. Кривая инвестиционных возможностей и параметры идеального портфеля

В7 fx | =(B9-D4)*2+(B10-D5)*2 А В С | D і Параметры портфеля 2 3 Фонд акций А Фонд акций Б Оптимальные I 4 Ожидаемая ставка доходности 12% 10% 12% 5 Стандартное отклонение 5% 3% 3% 6 Коэффициент корреляции 0 7 Минимизируемая функция I 0 01%1 В Доля инвестиций X 0.5 9 Ставка доходности портфеля 11,0% 10 Стандартное отклонение портфеля 2,92% 11 Рис. 2.15. Определение параметров инвестиционного портфеля

Помимо формальных параметров, уже описывавшихся ранее (ожидаемые ставки доходности по различным акциям, стандартные отклонения, коэффициент корреляции и параметры идеального портфеля), в ячейку B8 вводится начальное приближение доли инвестиций в первый фонд для поиска оптимальной структуры портфеля. В ячейки B9 и B10 вводятся формулы =$B$8*$B$4+(1-$B$8)*$C$4 и =КО-

РЕНЬ($В$8Л2*$В$5Л2+(1-$В$8)Л2*$С$5Л2+2*$В$8*(1-$В$8)*$В$5*$С$5*$В$6) соответственно для вычисления ставки доходности портфеля и стандартного отклонения (при известном значении параметра доли инвестиций в первый фонд в ячейке B8). Далее используем надстройку Поиск решения. Соответствующее диалоговое окно показано на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Окно надстройки Поиск решения

Рис. 2.16. Окно надстройки Поиск решения

Целевой указываем ячейку B7 минимизируемой функции (значение вычисляется по формуле =(B9-D4^2+(B10-D5^2), изменяемой является значение в ячейке B8, а кроме этого, на значение ячейки В8 указаны два ограничения: оно не должно быть меньше 0 и не превышает 1. Результат представлен на рис. 2.17. В10 Л =KOPEHb(SBSa"Z*5BS5'12+(I-5B$S)n2:,5c55''2+2:,SBjS*(l-$BSS)*SBS5*ScS5*5B$6) I А В | С | Q Е F G Н ~Г| Параметры портфеля 2 3 Фонд акций А Фонд акций Б Оптимальные I 4 Ожидаемая ставка доходности 12% 10% 12% ? Стандартное отклонение 5% 3% 3% Б Коэффициент корреляции 0 7 Минимизируемая функция 0,01% 1 8 Доля инвестиций К 0.640701331 Я 9 Ставка доходности портфеля 11,3% 1Q Стандартное отклонение портфеля I 3.38%1 11 Рис. 2.17. Параметры оптимального портфеля

В отличие от метода графического поиска решения, в данном случае определяются не только формальные параметры портфеля (ожидаемая ставка доходности и стандартное отклонение), но сразу и доля средств, инвестируемых в акции А. Более сложной с точки зрения прикладного анализа является ситуация, когда помимо двух рискованных активов средства можно инвестировать еще и в безрисковый актив. Рассмотрим такой случай.

Проблема связана с тем, что теперь следует определить долю средств, инвестируемых в безрисковый актив, а оставшиеся средства распределить между рискованными активами двух типов. Для определенности полагаем, что средства инвестора могут быть вложены в казначейские векселя (безрисковый актив) и акции двух типов (рискованный актив). Как и ранее, ожидаемая доходность акций А равна ?1, дисперсия равняется о^, ожидаемая доходность акций Б равна ?2 с дисперсией о2. Доходность безрискового актива обозначим через ?о, дисперсия для безрискового актива равна нулю (поэтому он и является безрисковым). Долю инвестиций в векселя (безрисковый актив) обозначим через z, а оставшаяся часть средств распределяется между акциями разных типов. В акции А инвестируется доля x от средств, инвестируемых в рискованные активы. В этом случае ожидаемая ставка доходности портфеля, составленная из

указанных трех активов, равна ? = z?0 + (1 - z)(x?1 + (1 - x)?2) = z?0 + (1 -z)? , где через ? = x?1 + (1 - x) ? 2 обозначена ожидаемая ставка доходности по средствам, инвестированным в рискованные активы (акции). Дисперсия для портфеля

2 2 2 2 2 2 определяется выражением о = (1 - z) (x ot + (1 - x) о2 + 2x(1 - x)n12), где n12,

как и ранее, ковариация между ставками доходности акций. Выбирая значения параметров x и z, определяем ожидаемую ставку доходности и дисперсию для портфеля. Таким образом, снова можем говорить о функциональной зависимости между ставкой доходности и стандартным отклонением (дисперсией) портфеля. Однако зависимость теперь, по сравнению с предыдущим случаем, более замысловатая. Дело в том, что параметров два (x и у), поэтому процесс установления связи между ставкой доходности и стандартным отклонением нужно несколько уточнить. Другими словами, речь идет о способе выбора оптимальных значений x и у для формирования портфеля инвестора. При определении параметра x фактически задается ожидаемая ставка доходности и дисперсия (стандартное отклонение) для инвестиций в рискованные активы. При фиксированном параметре x задача сводится к распределению средств между рискованным и безрисковым активами. Последнее решается выбором параметра z. На рис. 2.18 представлен фрагмент документа, в котором по значениям параметров x и z определяются ожидаемая ставка доходности портфеля и стандартное отклонение.

Ячейки B4:E6 содержат данные о ставках доходности по акциям и векселям, а также значения стандартных отклонений для акций и коэффициента корреляции. Кроме этого, там можно найти также значения ставки доходности и стандартного отклонения (ячейки E4:E5) для оптимального портфеля, то есть такие значения ожидаемой ставки доходности и стандартного отклонения, которые наиболее пред-почтительны для инвестора (имеется в виду не каждое значение в отдельности, а их сочетание).

Ячейки A9:C29 содержат данные об ожидаемых ставках доходности и стандартных отклонениях для инвестиций в рискованные активы. Это фактически те же данные, что и для случая распределения активов между двумя рискованными активами — этот пример рассматривался выше. В ячейках E9:G29 приведены данные о ставках доходности и стандартном отклонении портфеля при фиксированном соотношении инвестиций в акции разных типов. Соответствующее значение параметра х отображено в ячейке D9. Значение эффективной ставки доходности инвестиций в рискованные активы и стандартное отклонение отображаются в ячейках D11 и D13. Более детальную информацию о формулах, вводимых в ячейки документа, можно найти в табл. 2.5. F9 - fx =E9*$D$4+[l-E9j*SDSll А В С D Е F G 1 Кривая инвестиционных возможностей 2 3 Фонд акции А Фонд акций Б Векселя Оптимальные 4 Ожидаемая ставка доходности 12% 8% 7% 11% 5 Стандартное отклонение 5% 4% 0% 1% 7 6

Коэффициент корреляции 0,2 Доля инвестиций X в первый фонд Ставка доходности Стандартное отклонение Текущее значение параметра х Доля инвестиций zв векселя Ставка доходности Стандартное отклонение ~9~1 0 8,0% 4.00% 0,3 0| 9,2% I [ 3,43% 10 0,05 8,2% 3,86% Эффективная ставка 0,05 9,1% 3,26% 11

12

Ш 0,1 8,4% 3 73% 9,2% 0,1 9.0% 3,09% 0,15 8.6% 3,63%| Отклонение 0,15 8.9% 2,92% 0,2 8.8% 3,54% 3,43% 0,2 8.8% 2.74% 14 0,25 9,0% 3,47% 0,25 8,7% 2.57% 15 0,3 9,2% 3,43% 0,3 8,5% 2,40% 16 0,35 9,4% 3,41% 0,35 8,4% 2,23% 17 0,4 9,6% 3,42% 0,4 8,3% 2,06% 18 0,45 9.8% 3,45% 0,45 8,2% 1.89% 19 0,5 10.0% 3 50% 0,5 8.1% 1,72% ~20] 0,55 10,2% 3,58% 0,55 8,0% 1,54% 21 0,6 10,4% 3,67% 0,6 7,9% 1,37% 22 0,65 10,6% 3,79% 0,65 7,8% 1,20% ~23І 0,7 10,8% 3,92% 0,7 7.7% 1,03% 24

0,75 0,8 11.0% 11,2% 4.07%

4,23% 0,75 7.6% 0,8 7,4% 0.86% 0,69% ~2б1 0,85 11,4% 4,41% 0,85 7.3% 0,51% 27 0,9 11,6% 4,60% 0,9 7,2% 0,34% ~28І 0,95 11,8% 4,79% 0,95 7,1% 0 17% ~2Э1 1 12,0% 5 00% 1 7.0% 0 00%

Рис. 2.18. Вычисление ожидаемой ставки доходности и стандартного отклонения портфеля

Таблица 2.5. Назначение ячеек на рис. 2.18 Ячейка Формула Описание B9 =A9*$B$4+(1-A9)*$C$4 Определение ожидаемой ставки до-ходности от инвестиций в рискованные активы. На основе этой форму-лы путем копирования заполняются ячейки диапазона B9:B29 C9 =КОРЕНЬ(А9Л2*$В$5Л2+(1-

А9)Л2*$С$5Л2+2*А9*(1-

A9)*$B$5*$C$5*$B$6) Определение стандартного откло-нения для инвестиций в рискованные активы. На основе этой форму-лы путем копирования заполняются ячейки диапазона С9:С29

продолжение #

Таблица 2.5 (продолжение) Ячейка Формула Описание D11 =D9*$B$4+(1-D9)*$C$4 Определение эффективной (ожидаемой) ставки доходности для инвестиций в рискованные активы при фиксированной доле инвестиций в акции каждого типа (ячейка D9) D13 =КОРЕНЬф9Л2*$Б$5Л2+(1-

D9)A2*$C$5A2+2*D9*(1-

D9)*$B$5*$C$5*$B$6) Определение стандартного откло-нения для инвестиций в рискованные активы при фиксированной доле инвестиций в акции каждого типа (ячейка D9) F9 =E9*$D$4+(1-E9)*$D$11 Ожидаемая ставка доходности портфеля. На основе этой форму-лы путем копирования заполняются ячейки диапазона F9:F29 G9 =(1-E9)*$D$13 Стандартное отклонение для инве-стиционного портфеля. На основе этой формулы путем копирования заполняются ячейки диапазона G9:G29

Процесс формирования портфеля все же лучше проиллюстрировать графически. Так, выбор значения x соответствует выбору точки на кривой инвестиционных возможностей (данные ячеек B9:C29). Далее через эту точку проводится прямая линия. Вторая точка для этой линии определяется значением ставки доходности по безрисковым активам (стандартное отклонение равно нулю). Выбирая значение z, фиксируем точку на этой прямой. Эта точка соответствует параметрам инвестиционного портфеля. На рис. 2.19 показана кривая инвестиционных возможностей с проведенной прямой распределения средств между рискованными и безрисковыми активами при условии инвестирования в акции первого типа 30 % средств, инвестируемых в рискованные активы.

Таким образом, ситуация следующая. Имеется кривая инвестиционных воз-можностей для инвестиций в рискованные активы. На этой кривой выбирается точка, и в эту точку проводится прямая (точнее, отрезок). Начальной точкой является та, что соответствует нулевому стандартному отклонению и ставке доходности безрискового актива. Окончательная структура инвестиционных вливаний определяется точкой на этой прямой. Как именно выбирать эту точку — вопрос отдельный. Сразу можно отметить, что, изменяя структуру инвестиций в рискованные активы (параметр x), можно менять положение конечной точки, в силу чего меняется наклон прямой. Максимальное соотношение доходность/риск достигается при наибольшей возможной крутизне кривой. На рис. 2.20 показан эффект от изменения значения параметра x.

Рис. 2.19. Кривая инвестиционных возможностей и прямая распределения средств между рискованными и безрисковыми активами для значения параметра х = 0,3

Рис. 2.19. Кривая инвестиционных возможностей и прямая распределения средств между рискованными и безрисковыми активами для значения параметра х = 0,3

Рис. 2.20. Кривая инвестиционных возможностей и прямая распределения средств между рискованными и безрисковыми активами для значения параметра х = 0,6

Рис. 2.20. Кривая инвестиционных возможностей и прямая распределения средств между рискованными и безрисковыми активами для значения параметра х = 0,6

Часто критерием оптимальности инвестиционного портфеля является именно соотношение доходность/риск. При этом многое зависит от начальной точки прямой, то есть от ставки доходности безрискового актива. Обычно прямую проводят так, чтобы она касалась кривой инвестиционных возможностей. Это правило позволяет определить структуру инвестиций в рискованные активы. После этого остается выбрать точку на прямой. Здесь, однако, воспользуемся иным подходом. Как и ранее, будем предполагать, что у инвестора есть сформировавшееся представление об оптимальном соотношении между ожидаемой ставкой доходности и стандартным отклонением портфеля. Задача состоит в том, чтобы выбрать в плоскости ставка доходности — стандартное отклонение точку, наиболее близкую к оптимальной. Кстати, на рис. 2.19 и рис. 2.20 помимо упоминавшихся кривых отображается также и точка, соответствующая оптимальным значениям ставки доходности и стандартного отклонения. Для определения параметров портфеля необходимо, во-первых, определить точку на кривой инвестиционных возможностей и провести прямую и, во-вторых, указать точку на этой прямой. Из всех возможных вариантов следует выбрать тот, при котором выбранная точка ближе всего расположена по отношению к точке оптимальных параметров портфеля. Такая задача может быть с успехом решена в Excel. Обратимся к документу, представленному на рис. 2.21. В7 fx =(В10-Е4)Л2+(В11-Е5)Л2 А В С | D Е 1 Параметры портфеля 2 Фонд акций А Фонд акций Б Векселя Оптимальные I 4 Ожидаемая ставка доходности 12% 8% 7% 11% 5 Стандартное отклонение 5% 4% 0% 1% 6 Коэффициент корреляции 0,2 7 Минимизируемая функция | 0 06% 8 Доля инвестиций z в векселя 0,3 9 Доля инвестиций х в первый фонд 0,5 10 Ставка доходности портфеля 9,1% 11 Стандартное отклонение портфеля 2,45% 12 Рис. 2.21. Определение параметров портфеля

Помимо формальных параметров, таких, как ставки доходности, стандартные отклонения и коэффициент корреляции, в документе вычисляются ожидаемая ставка доходности портфеля (формула =B8*$D$4+(1-B8)*($B$9*$B$4+(1-$B$9)*$C$4) в ячейке B10), стандартное отклонение для портфеля (формула =(1-$В$8)*КО- PEHb($B$9A2*$B$5A2+(1-$B$9)A2*$C$5A2+2*$B$9*(1-$B$9)*$B$5*$C$5*$B$6) в ячейке B11). В ячейки B8 и B9 вводятся начальные значения для доли инвестиций в безрисковый актив и доли инвестиций в акции А соответственно. Далее предстоит уточнить эти значения, исходя из условия минимума функции, определяемой по формуле =(B10-E4)A2+(B11-E5)A2 в ячейке B7. Для минимизации функции используем надстройку Поиск решения. На рис. 2.22 показано одно- именное диалоговое окно с параметрами настройки: целевой является ячейка B7 со значением минимизируемой функции, изменяемыми являются ячейки диапазона B8:B9, а в качестве дополнительных условий указываем положительность значений изменяемых ячеек, они также не должны превышать единицы.

Рис. 2.22. Окно настройки параметров для поиска решения (минимизации функции)

Рис. 2.22. Окно настройки параметров для поиска решения (минимизации функции)

После минимизации получаем документ с параметрами, определяющими структуру инвестиционного портфеля. Документ показан на рис. 2.23. В7 & ={В10-Е4)Л2+(В11-Е5)Л2 А В С D Е 1 Параметры портфеля 2 I I I I п 3 Фонд акций А Фонд акций Б Векселя Оптимальные Н 4 Ожидаемая ставка доходности 12% 8% 7% 11% 5 Стандартное отклонение 5% 4% 0% 1% 6 Коэффициент корреляции 0,2 7 Минимизируемая функция I 0 04%1 8 Доля инвестиций I в векселя 0.473478073 9 Доля инвестиций х в первый фонд 0,938266842 10 Ставка доходности портфеля 9,5% 11 Стандартное отклонение портфеля 2,50% 12 I Рис. 2.23. Параметры инвестиционного портфеля определены

Построим диаграмму по полученным данным. По большому счету, необходимо лишь изменить значение в ячейке D9 в соответствии с полученным выше результатом. Чтобы не вводить значение в эту ячейку вручную, можно сделать ссылку на соответствующую ячейку предыдущего документа =Лист2!В9 (в оригинальной таблице Excel документ, представленный на рис. 2.21, помещен в Лист 2, а документ с диаграммой, представленной далее, — в Лист 3). Результат представлен на рис. 2.24.

J39 » f- | =Лист2[ВЗ А В С Q Е F | G 1 Кривая инвестиционных возможностей 2 3 Фонд акций А Фонд акций Б Векселя Оптимальные 4 Ожидаемая ставка доходности 12% 8% 7% 11% 5

Стандартное отклонение Коэффициент корреляции 5% 0:2 4% 0% 1% 7 8 9 Доля инвестиций X в первый фонд Ставка доходности Стандартное отклонение Текущее значение параметра х Доля инвестиций zв векселя Ставка Стандартное доходности отклонение 0 8,0% 4,00%| 0,9382668421 0 11,8% 4,75% 10 С,05 8,2% 3,86% Эффективная ставка 0,05 11,5% 4,51% 11 0,1 8,4% 3,73% 11,8% 0,1 11,3% 4,27% 12 0,15 8,6% 3,63% Отклонение 0,15 11.0% 4.03% 13 0,2 8.8% 3,54% 4.75% 0,2 10.8% 3,80% 14

0,25 0,3 0,35 9.0% 9,2% 9,4% 3,47% 0,25 3,43% 0,3 3,41% 0,35 10.6% 3,56% 10,3% 3,32% 10,1% 3,09% 17 0,4 9,6% 3,42% 0,4 9,9% 2,85% 18 0,45 9,8% 3,45% 0,45 9,6% 2,61% 19 0,5 10,0% 3,50% 0,5 9,4% 2,37% 20 0,55 10,2% 3,58% 0,55 9,1% 2,14% 21 0,6 10,4% 3,67% 0,6 8.9% 1.90% 22 0,65 10.6% 3,79% 0,65 8.7% 1.66% 23 0,7 10.8% 3,92% 0,7 8.4% 1.42% 24

Г25І 26 27 0,75 0,8 0,85 0,9 11.0% 11,2% 11,4% 11,6% 4.07% 0,75 4,23% 0,8 4,41% 0,85 4,60% 0,9 8,2% 1,19% 8,0% 0,95% 7,7% 0,71% 7,5% 0,47% 28 0,95 11,8% 4,79% 0,95 7,2% 0,24% 29 1 12,0% 5.00% 1 7,0% 0,00% 30

Рис. 2.24. Использование вычисленных путем оптимизации параметров для построения диаграммы

Рис. 2.25. Точка задает параметры инвестиционного портфеля

Рис. 2.25. Точка задает параметры инвестиционного портфеля

Кривая инвестиционных возможностей, прямая распределения ресурсов между рискованными и безрисковыми активами, точка оптимального портфеля и точка портфеля инвестора на прямой показаны на рис. 2.25.

Точка, определяющая параметры инвестиционного портфеля, расположена, как уже отмечалось, на прямой и выделена в виде черной жирной точки. Эта точка отображается на диаграмме в соответствии с рассчитанными ранее параметрами порт-феля. Способ отображения точки определяется пользователем после щелчка правой кнопкой мыши в данном месте диаграммы с последующим выбором параметров.

<< | >>
Источник: Васильев А. Н.. Финансовое моделирование и оптимизация средствами Excel 2007 (+CD). — СПб.: Питер,2009. — 320 е.. 2009

Еще по теме Формирование инвестиционного портфеля: