<<
>>

11.9. ОЦЕНИВАНИЕ ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ

К сожалению, задача оценивания экзотических опционов гораздо более сложна, чем для стандартных опционов. Для ее решения ис-пользуются методы трех типов.

Решения в замкнутой форме.

Для большинства экзотических опционов существует решение в замкнутой форме, или, иными словами, явная формула, выражающая справедливую цену опциона как функцию входных переменных. В ряде случаев эта формула получается гораздо более громоздкой, чем формула Блэка-Шоулса. Так, например, решение в замкнутой форме для сложных опционов требует итерационной техники и использует двумерное нормальное распределение. В отдельных случаях, например, для опциона средней арифметической ставки, замкнутая форма для точного решения неизвестна, но имеются приближенные формулы.

Биномиальные модели. Любой опцион можно оценить с помощью биномиальной техники, но для опционов с памятью задача сильно усложняется, потому что приходится отдельно оценивать каждый из всех возможных путей по биномиальной решетке. Предположим, что на каждом шаге цена основной ценной бумаги может либо увеличиться в 1.1000 раз, либо уменьшиться, будучи умножена на 0.9091. Вот два возможных пути после трех шагов:

100, 110, 121, 110 и 100, 110, 100, 110.

В обоих случаях имеется два скачка вверх и один вниз, и поэтому конечная цена одинакова для обоих путей. Стандартный опцион имел бы одну и ту же стоимость для обоих путей, потому что окончательная стоимость такого опциона зависит от значения цены основной бумаги только в день исполнения, а не от того, как цена стала такой. Напротив, конечные стоимости опциона средней ставки будут в этих двух случаях разными, потому что, хотя конечные значения цены одинаковы, средняя цена в первом случае равна 110.25, а во втором — только 105.

Опционы с памятью, таким образом, обладают тем неприятным свойством, что их биномиальные решетки сильно разрастаются, как это изображено на рис.

11.29. В общем случае при п шагах стандартная решетка имеет всего (п + 1) конечных значений, а у опциона с памятью— 2".

Для оценки опциона с памятью по биномиальной модели с двадцатью шагами потребуется оценить более одного миллиона путей, .что потребует значительных затрат машинного времени даже на мощном компьютере.

Для оценки опциона с памятью по биномиальной модели с двадцатью шагами потребуется оценить более одного миллиона путей, .что потребует значительных затрат машинного времени даже на мощном компьютере.

памятью

В таблицах 11.9 и 11.10 для иллюстрации сказанного представлены вычисления, необходимые для определения цены опциона средней ставки со следующими характеристиками : Цена основных активов 100 Число шагов 4 Цена исполнения 100 г 1.024114 Время до исполнения 360 дней и 1.105171 Волатильность 20% d 0.904837 Процентная ставка 10% Р 0.595389 Самый правый ряд чисел в таблице 11.10 представляет собой зна- чения конечной стоимости опциона средней ставки при его испол-нении, полученные как среднее арифметическое пяти учитываемых значений цены основной ценной бумаги. Затем данные сворачиваются по методике, описанной в п. 10.8. Ответ, который дает эта про-

стая 4-шаговая биномиальная модель, оказывается близок к ответам 6.88 и 6.94, полученным по двум аналитическим моделям. На практике, однако, приходится использовать более сложные биномиальные модели.

149.18 23.37

у134.99< у20.ба<

/ 122.14 / 17.96

/

122.14 16.37

\ 122.14 / \ 13.06

\l0.52100.00 / 8.63

110.52 11.07

8.63

6.68

4.21

\

122.14 / \

/ 10000 / \ / 100.00 / 3.93

\ 10000 / \

0.20

V90,48-81.87 I 0.00

100.00 _ , 6.81 , „

122.14 \ 4.63

y110.52-<; \ у2.77-<С

/ 100.00 \ / 0.20

100.00 \ 1.61

/

\ 100.00 \ / \ 0.00

90.48-< \ / 0.00-<

81.87 \ / 0.00

\

90.48 0.94

100.00 \ 00.00 /9o.4a<; \ >оо.оо^<;

/ 81.87 \ / 00.00

81.87 00.00

00.00

67.03 00.00

\ 81.87 \

Таблица 11.10.

Биномиальное оценивание — стоимость опциона

Таблица 11.9. Биномиальное оценивание — цены основного актива

Моделирование по методу Монте-Карло. Когда ничто другое не помогает, остается возможность определить цену произвольного опциона моделированием по методу Монте-Карло, как это было показано на примерах в предыдущей главе. При этом случайным образом генерируются тысячи вариантов путей для цены основных активов и для каждого из них определяется стоимость опциона.

X74.08*< N 00.00

Среднее арифметическое всех полученных значений является разумным приближением к справедливой цене опциона. Для некоторых опционов с памятью, в особенности для барьерных опционов, могут потребоваться десятки тысяч реализаций с малым шагом по времени, чтобы получить достаточно надежный ответ. На рис. 11.30 показан результат одного такого моделирования по методу Монте- Карло, где для опциона средней ставки было взято более 10000 реализаций, содержащих 365 шагов каждая. Получившееся среднее значение равно 6.79, что весьма близко к результатам, полученным выше другими методами.

Рис. 11.30. Оценивание опциона усредненной ставки методом Монте-Карло

стоимость опциона

Рис. 11.30. Оценивание опциона усредненной ставки методом Монте-Карло

Для многофакторных опционов, в дополнение к сложностям мо-делирования, возникает новая проблема — оценка прогнозируемой корреляции двух финансовых показателей. Оценка волатильности одной цены — уже достаточно трудная задача, а получить надежную статистику для взаимосвязанного поведения двух переменных зна-чительно сложнее. Например, какая имеется связь между обменными курсами и процентными ставками, или между чем-либо из них и индексами курсов акций? К сожалению, оценивание многофакторных опционов существенно использует значения таких корреляций. Весьма актуальной является задача о том, как выделить влияние иных факторов — и экономических, и социально-политических. Пока что удовлетворительного решения здесь не найдено.

<< | >>
Источник: Галиц Л.. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансо-вым риском. — Москва: ТВП,1998. 576 с.. 1998

Еще по теме 11.9. ОЦЕНИВАНИЕ ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ:

  1. 1.5. СТРУКТУРА ЭТОЙ КНИГИ
  2. 10.5. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ
  3. 10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА
  4. 10.8. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ. БИНОМИАЛЬНЫЙ ПОДХОД
  5. Продажа справедливого колл-опциона.
  6. 10.11. КАК МЕНЯЮТСЯ СВОЙСТВА ОПЦИОНОВ
  7. ОПЦИОНЫ: ОТ СТАНДАРТНЫХ ДО ЭКЗОТИЧЕСКИХ
  8. 11.8. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ
  9. 11.9. ОЦЕНИВАНИЕ ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ
  10. 11.10. СРАВНЕНИЕ ЦЕН ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ
  11. 13.12. ПРИМЕНЕНИЕ ЭКЗОТИЧЕСКИХ ОПЦИОНОВ
  12. 15.3. КОЛЛАРЫ, ДОЛЕВЫЕ КЭПЫ, КОРИДОРЫ И ДРУГИЕ ВАРИАЦИИ
  13. 16.10. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ДЕРИВАТИВЫ НА АКЦИИ
  14. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ[1] «Производные финансовые инструменты» Curriculum of Subject: “Financial Derivatives”
  15. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
  16. Содержание:
  17. Лекция 15. Экзотические опционы