<<
>>

10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА

Справедливая цена любого финансового актива равна его средней ожидаемой стоимости. Например, если цена акции с вероятностью

30% окажется равной 40, а с вероятностью 70% — равной 50, то ее справедливой ценой в этот момент должно быть:

(0.30 х 40) + (0.70 х 50) = 47.

Этот принцип применим и к опционам.

Справедливая стоимость опциона в день исполнения равна сумме всех возможных значений его стоимости, умноженных на вероятности принятия стоимостью этих значений. В приведенном выше простом примере было всего два возможных исхода. Стоимость опциона, однако, может принимать практически любое значение, и поэтому нужно использовать не дискретные, а непрерывные случайные распределения. На рис. 10.18 показаны три дискретных и одно непрерывное распределение. В случае дискретного распределения вероятность определенного исхода можно измерить просто по высоте соответствующего столбика на диаграмме. В случае непрерывного распределения вероятность попадания итогового значения в определенный промежуток измеряется площадью фигуры, расположенной под соответствующим участком кривой.

Согласно определению колл-опциона, его ожидаемая стоимость при исполнении равна

Е [Ст ] = Е [max (ST - X, о)], (10 8)

где

Е [Ст ] — ожидаемая стоимость колл-опциона при исполне-нии,

ST — цена основных активов в день исполнения,

X — цена исполнения опциона.

При исполнении опциона может случиться одно из двух. Если ST> X, то опцион при исполнении будет выгодным и max(ST -Х,0) = ST- X. Если же ST< X, то опцион при исполнении будет невыгодным и max(Sr-X,0) = 0. Если р— вероятность того, что ST > X, то соотношение (10.8) перепишется так:

Е [Сг ] = р х (Е [St IST > X}- X)+(l- р)х0

= px(E[ST \ST >X]-X) (10.9)

где

p — вероятность того, что ST > X,

Е [ST I ST > X] — среднее ожидаемое значение ST при условии, что ST > X.

KnHdUdQdduovddOH9iqdddudH n dnuiuddxon)]' '8Г0І 'эи^

вероятность вероятность

]

и

т

і

і

- - —і 1

¦

1

]

1 I

Равенство (10.9) дает формулу для среднего ожидаемого значения стоимости колл-опциона при исполнении.

ISZ Х1чнжо1ГЭ of xwxDodu хо :ічноиТшо

Равенство (10.9) дает формулу для среднего ожидаемого значения стоимости колл-опциона при исполнении.

Чтобы получить его справедливую цену на день заключения контракта, нужно полученную величину продисконтировать к ее текущему значению:

С = рхе'п x(E[ST\ST >Х]-Х), (10.10)

где

С — справедливая цена опциона при заключении контракта, г — непрерывно накапливающаяся безрисковая процентная ставка,

t — время до погашения опциона.

Таким образом, проблема оценки опциона свелась к двум несколько более простым задачам:

найти вероятность р того, что опцион при исполнении будет вы-годным, т.е.

что ST > X,

найти Е [ST I ST > X] — условное ожидание цены основных активов при условии, что опцион при исполнении будет выгодным.

Рис. 10.19. Логарифмически нормальное распределение для исходов, при кото-рых опцион является выгодным

Рис. 10.19. Логарифмически нормальное распределение для исходов, при кото-рых опцион является выгодным

Обе задачи можно решить, если финансовые цены распределены логарифмически нормально. На рис. 10.19 изображено такое же логарифмически нормальное распределение, как и на рис. 10.16, но с выделенным участком, где цены выше 120. Именно эта часть распределения определяет стоимость опциона с ценой исполнения 120.

Площадь заштрихованной части составляет 34% всей площади под графиком, поэтому вероятность того, что итоговая цена превысит 120, равна 0.34. Среднее, взятое только по заштрихованной час" ти , равно 137.894. При непрерывно начисляемой сложной процентной ставке 12% справедливая цена опциона с ценой исполнения 120 равна:

С = 0.34 х е-012 х (137.894 -120) = 5.40.

Именно такое значение цены опциона получается для модели Блэка-Шоулса.

Как были вычислены значения 0.34 и 137.894? Получить выраже-ние для вероятности р довольно просто, но для условного математи-ческого ожидания Е [ST IST > X] это сделать значительно труднее. Мы ограничимся тем, что выведем правило для вычисления вероят-ности, а для условного математического ожидания просто сформу-лируем окончательный результат. Соединив два эти выражения, мы получим формулу модели Блэка-Шоулса.

Нахождение вероятности р того, что цена основных активов в день погашения превысит некоторую критическую цену X, равнозначно нахождению вероятности того, что доходность за этот срок превысит соответствующее критическое значение гх- В такой формулировке задача становится проще, поскольку доходность подчиняется нормальному распределению, а с нормальным распределением ра-ботать легче, чем с логарифмически нормальным.

Согласно равенст-ву (10.1), доходность была определена как логарифм ценового от-ношения, поэтому искомая вероятность р определяется равенством

доходность >1п

(10.11)

S0 j

р = Prob [ST > х] = Prob

где Sq — начальная цена основных активов.

Вероятность того, что значение нормально распределенной вели-чины х превысит некоторое критическое значение хш>, выражается следующей общей формулой:

ґ * \ *crit "М-

Prob [х > xcrit ] = 1 - N где

ц* — среднее значение величины х, а* — стандартное отклонение х,

(10.12)

N(-) — функция стандартного нормального распределения.

Чтобы воспользоваться соотношением (10.11), нам нужно найти ц* и о*— среднее значение и стандартное отклонение доходности. Равенство (10.7) дает нам выражение для среднего ожидаемого значения ценового отношения ST/So- Если мы определим величину г соотношением

(10.13)

а

г = И + Т,

(10.14)

то равенство (10.7) запишется в более простом виде:

Е — -е" .

Л.

Введенная величина г— не просто удобное обозначение для выражения ц + а2/2, — это как раз и есть непрерывно начисляемая безрисковая сложная процентная ставка. Может показаться удивительным, что для оценки таких явно рисковых вложений, как опционы, применяется именно эта ставка. Объяснение использует так называемый метод нейтрализации риска.

В основе метода нейтрализации риска лежит возможность построения безрискового портфеля за счет сочетания в определенной пропорции опциона и основных активов. На самом деле этот же подход лежит в основе биномиального метода оценивания опционов, который обсуждается в следующем пункте. Безрисковый портфель — это такой портфель, который обеспечивает один и тот же финансовый результат при любых обстоятельствах, и поэтому все будущие потоки наличности нужно лишь дисконтировать по безрисковой процентной ставке. При таком портфеле предпочтения инвестора в отношении структуры риска роли не играют, и портфель будет оцениваться одинаково и инвестором, нейтрализующим риск, и инвестором, избегающим риска.

Поскольку проще оценить портфель, исходя из безрисковой ставки, которой пользуется нейтрализующий риск инвестор, мы так и поступим.

Заметьте, что нейтрализация риска вовсе не означает, что цены всех финансовых активов будут расти в соответствии с безрисковой ставкой из соотношения (10.14). Утверждается лишь, что цена опциона получится одной и той же независимо от того, будем мы пользоваться безрисковой ставкой или какой-то другой, более высокой процентной ставкой. Выбор более высокой ставки означал бы ожидание более быстрого роста цен основных активов, однако при этом и выплаты по опциону на эти активы придется дисконтировать назад по более высокой ставке, и эти два эффекта друг друга погасят.

На вопрос можно взглянуть с другой точки зрения, вспомнив, что цена опциона пропорциональна цене основных активов. Если цену активов и цену исполнения увеличить вдвое, то цена опциона также удвоится. Если бумага падает в цене из-за того, что инвесторы дисконтируют будущие потоки наличности по повышенной ставке, то и цена опциона в силу ее пропорциональности также должна упасть. Иначе и не может быть. Инвесторы обязаны быть последовательными, и должны дисконтировать будущие потоки наличности по опциону по той же самой повышенной ставке.

Равенство (10.6) теперь принимает вид - f о Y f 2 Л ln ST ст t = nf = г Sn 2 _ vuo J_ V ^ J t = \i9

(10.15)

что дает выражение для средней ожидаемой доходности Стандартное отклонение доходности определяется сотношением (10.3) и

равно Ол/t . Из соотношений (10.11) и (10.12) получаем:

доходность > In

VSo J

Prob [ST > х] = Prob

ln

VSo J

= 1 -N

<з4ї

(10.16)

Из симметрии нормального распределения следует, что 1 - N(d) = N(-d), поэтому

Р = Prob [ST >x] = N

(10.17)

/ х _ \ / ~> \ л

ln / + r— Uv V 2 J СТл/7

ln

'lOO") / 0.202 ^ + 0.12- V120 J V 2 J 0.20 л/ї

xl

= N"(-0.4116) = 0.34.

Prob [ST >X]=N

V

J

Е [ST \ST >X] = S0er

Чтобы найти выражение для величины Е [ST IST > X], нужно проинтегрировать функцию логарифмически нормального распределения в пределах от X до оо. Если проделать это , то в результате получится:

WTY (10Л8)

где

Ґ с \

ln

In

+

r + -

и d2 =-

a4t

ajt

¦ = -oJt. (10.19)

Итак, мы получили выражение (10.17) для р и выражение (10.18) для E[Sr IST >Х]. Подставляя их в равенство (10.10), приходим к окончательной формуле для колл-опциона:

Nti)

V

X

С = N(d2)xe~"

(10.20)

или

N(d2)

C = S0N(dl)-Xe~rtN(d2).

Это и есть формула знаменитой модели Блэка-Шоулса.

Справедливая цена колл-опциона может быть вычислена с помощью всего одной формулы. Как явствует из предыдущих рассмотрений, данную формулу можно интерпретировать как способ нахождения ожидаемой текущей стоимости опциона в предположении, что цены подчиняются логарифмически нормальному распределению.

В качестве иллюстрации на рис. 10.20 и 10.21 показаны результаты моделирования по методу Монте-Карло. На компьютере было получено более 10 тысяч вариантов будущей цены финансового актива. Каждый раз значение доходности бралось как случайная величина, распределенная нормально со средним значением 10% и стандартным отклонением 20%. Если во взятом варианте доходность ока-зывалась равной р, то цена St через время t становилась равной St= S0ePty а текущая стоимость опциона— равной (St-X)/e~rf, если St > X, и нулю — в противном случае.

Рис. 10.20. Распределение цен основных активов

стоимость опциона

Рис. 10.20. Распределение цен основных активов

Рис. 10.21. Распределение стоимости опциона

Рис. 10.21. Распределение стоимости опциона

Полученное в этом эксперименте распределение цен спустя один год (при исходной цене 100) изображено на рис. 10.20. Его среднее значение равно 112.75, а стандартное отклонение— 22.77,— это очень близко к значениям, предсказанным равенством (10.7) и отмеченным на графике теоретического распределения на рис. 10.16. Вероятность того, что цена основных активов окажется ниже 120, равна 0.66, — это совпадает с теоретическим значением 0.66 = 1.00-0.34, вычисленным по формуле (10.17).

Соответствующее распределение цен опционов показано на рис. 10.21. В 66% случаев опцион при исполнении не выгоден, а в остальных случаях — выгоден, причем значения стоимости попадают в интервал от нуля до 110. Среднее значение этого весьма разбросанного распределения равно 5.40, что совпадает с ценой, вычисленной с помощью модели Блэка-Шоулса по формуле (10.20).

Таким образом, моделирование методом Монте-Карло, использующее только элементарные арифметические действия и предположение о том, что доходность распределена нормально, дает такую же величину ожидаемой стоимости опциона, что и модель Блэка- Шоулса.

Нормальность распределения доходности — это основное предположение, принятое в модели Блэка-Шоулса. Кроме этого, модель использует еще ряд предположений, а именно:

основные активы свободно продаются и покупаются, в том числе в дробных долях,

допускается «короткая» продажа (продажа без покрытия) основных активов, при этом продавец может пускать полученную на-личность в оборот,

никаких дивидендов или иных выплат по основным активам до исполнения опциона не предусматривается,

допускается привлечение и размещение наличности по той же самой безрисковой процентной ставке (с непрерывным накоплением процентов),

опцион относится к европейскому типу, и до дня погашения исполнен быть не может,

налоги, расходы на совершение сделок и выплаты маржи отсутст-вуют,

цена основной бумаги с ходом времени меняется непрерывно (без скачков),

характер изменчивости цены основной бумаги, а также процентная ставка в течение срока действия опциона остаются постоянными.

На практике далеко не все из этих предположений в точности вы-полняются, но для учета таких отклонений в основную модель можно вводить поправки (часто совсем простые).

(10.21)

С = Se-V N (d[) - Хе " v N(d'2),

Например, если рассмотреть валютный опцион, то его основной актив — иностранная валюта — может приносить доход: проценты с валютного депозита. Чтобы оценить такой опцион, стандартную формулу Блэка-Шоулса нужно видоизменить следующим образом:

где

S — текущий обменный спот-курс,

гъ — непрерывно начисляемая сложная процентная ставка в валюте, являющейся предметом опциона, Тр — непрерывно начисляемая сложная процентная ставка в валюте, в которой определяется цена опциона,

это — так называемая модель Гармана-Кольхагена для валютных опционов,

это — так называемая модель Гармана-Кольхагена для валютных опционов,

Большими достоинствами модели Блэка-Шоулса являются простота формул и то, что она дает естественный и непротиворечивый метод оценивания. Поэтому модель была адаптирована к различным типам опционов, и в большинстве случаев практики предпочитают пользоваться моделью Блэка-Шоулса или ее модификациями, а не более сложными моделями.

Например, было обнаружено, что в реальном распределении цен его «хвосты», т.е. вероятности появления значений, сильно отличающихся от среднего значения, больше, чем у логарифмически нор-мального распределения. Так происходит потому, что цены рынка время от времени испытывают скачки, и реальная вероятность того, что цена отклонится от среднего значения, например, на утроенное стандартное отклонение*, немного больше той, что получается в соответствии с логарифмически нормальным распределением. Как рыночные оценщики**, отвечающие за правильность оценивания опционов, справляются с этой трудностью? Вместо того, чтобы работать с моделями, явно учитывающими увеличение «хвостов» рас-пределения цен, они все-таки пользуются моделью Блэка-Шоулса, но при оценивании выгодных и невыгодных опционов берут увеличенные показатели волатильности. В результате увеличивается отличие цен таких опционов от цен опционов, справедливых при погашении, что и соответствует увеличению вероятностей на «хвостах» распределения цен.

Мы ограничивались оцениванием колл-опционов и пока не рассматривали задачу оценивания пут-опционов. К счастью, для них не

Стандартное отклонение логарифмически нормального распределения равно бесконечности, и поэтому в терминах стандартного отклонения следует измерять от-клонения от среднего не самих ценовых отношений (или цен), а их логарифмов. — Прим. ред.

нужно разрабатывать отдельную модель, потому что цена колл-опциона неразрывно связана с ценой пут-опциона посредством соотношения, называемого теоремой пут-колл эквивалентности (put-call parity theorem).

Чтобы понять ее суть, рассмотрим следующую последовательность сделок:

продать один колл-опцион со сроком t и ценой исполнения X,

купить один пут-опцион с теми же сроком и ценой исполнения,

купить основные активы,

занять наличность в размере Хе~г\ где г— непрерывно начисляемая сложная безрисковая процентная ставка.

Если начальная цена основных активов равна S0, цена колл-опциона равна С, а цена пут-опциона равна Р, то совокупный поток наличности при совершении этих сделок составит:

C-P-S0 +Хе~п.

При исполнении опционов, независимо от цены основных активов, нужно будет вернуть заем — это потребует выплаты X. Что произойдет затем, зависит от цены основных активов.

Рассмотрим сначала, что будет, если при исполнении окажется St > X. Колл-опцион при исполнении будет выгодным, и продавец должен будет поставить основные активы по цене исполнения X. Полученная сумма как раз уйдет на погашение займа. Пут-опцион при исполнении обесценится. Чистый поток наличности, такиї^ образом, равен нулю.

Теперь рассмотрим случай, когда ST < X. На этот раз колл-опцион при исполнении обесценится, а пут может быть предъявлен к исполнению. Его покупатель имеет право продать основные активы по цене исполнения X, которая как раз уйдет на погашение займа. Поток наличности опять свелся к нулю.

В том маловероятном случае, когда в день исполнения ST = X, оба опциона обесцениваются. Основные активы могут быть в этот момент проданы по рыночной цене, равной X, и полученная сумма пойдет на погашение займа. Чистый результат — опять нулевой.

Иными словами, во всех случаях эта совокупность сделок приводит к нулевому чистому потоку наличности. Но если итоговая стоимость портфеля всегда равна нулю, то и его начальная стоимость тоже должна быть равна нулю. Если бы она была отрицательной, то существовала бы возможность извлечения прибыли без риска. Если бы она была положительной, то безрисковую прибыль принесла бы совокупность обратных сделок. Это означает, что

C-P-S0+Xe~n = 0.

f

Следовательно,

Р = C-S0 +Хе~п. (10.22)

Мы получили формулу, выражающую цену пут-опциона через цену колл-опциона. Поэтому специальная модель для определения цены пут-опциона не нужна.

Модель, разработанная профессорами Блэком и Шоулсом, явилась вехой в теории финансов. Она впервые дала надежное средство определения цен опционов на акции. Впоследствии были разработаны варианты, распространявшие ее формулы на многие другие типы опционов и основных активов. Однако к некоторым типам опционов модель Блэка-Шоулса неприменима. Тогда нужно использовать другой метод — так называемую биномиальную модель.

<< | >>
Источник: Галиц Л.. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансо-вым риском. — Москва: ТВП,1998. 576 с.. 1998

Еще по теме 10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА:

  1. 3.2. Оценивание коэффициентов модели
  2. 7 ММП-оценивание в моделях временных рядов
  3. Модель Блэка-Шоулза
  4. ОПЦИОНЫ: ОТ ПРОСТЫХ ДО СЛОЖНЫХ
  5. 10.5. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ
  6. 10.5. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ
  7. 10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА
  8. 10.8. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ. БИНОМИАЛЬНЫЙ ПОДХОД
  9. 10.10. ПРОФИЛИ СТОИМОСТИ ДО ПОГАШЕНИЯ
  10. Продажа справедливого колл-опциона.
  11. 6.1.4. Модель Блэка—Скоулза
  12. 6. Модель Блэка-Шоулза
  13. 9.1. Ограничения в применении опционных моделей к инвестиционным проектам и направления их преодоления
  14. Лекция 14. Модель Блэка-Шоулза-Мертона (Б-Ш-М)
  15. § 34. МОДЕЛЬ БЛЭКА-СКОЛЕСА
  16. Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.
  17. Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.