<<
>>

10.6. ПОВЕДЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ЦЕН

Одно из ключевых предположений, лежащих в основе модели Блэка-Шоулса — это то, что цены на активы имеют логарифмически нормальное распределение. Что это означает? Многие уже знакомы с нормальным распределением, изображенным на рис.
10.13.

Рис. 10.13. Нормальное распределение

Рис. 10.13. Нормальное распределение

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, если случайным образом выбрать тысячу человек и построить гистограмму распределения их по росту, то в результате получится нормальное распределение. Это распределение будет иметь пик в точке, соответствующей среднему росту в этой группе, но при этом будет наблюдаться некоторый разброс вокруг среднего. Статистическая мера этого разброса называется стандартным отклонением, причем нормальное распределение обладает следующими свойствами: 68.3% распределения находится на расстоянии не более одного стандартного отклонения от среднего, а 95.4% — на расстоянии не более 2 стандартных отклонений. В нашем примере с ростом мы обнаружили бы, что среднее равно примерно 1.72 м, а стандартное отклонение — 0.09 м. Это значит, что 95.4% людей из нашей выборки имеет рост в пределах от 1.54 м до 1.90 м , из чего допустимо сделать вывод, что и в более широкой популяции, из которой взята наша выборка, 95.4% людей имеет рост в тех же пределах.

Коль скоро нормальное распределение встречается так часто, возникает соблазн предположить, что финансовые цены также ему подчиняются. Однако такое предположение по ряду причин неудобно, и не последняя из них — то, что нормально распределенная величина может принимать отрицательные значения, которые для большей части финансовых цен недопустимы1".

Оказывается, что хотя цены не являются нормально распределенными, доходность во многих ситуациях имеет нормальное распределение.

Если инвестор покупает акцию за 100, то он может получить доходность и +10%, и -10%. Однако нужно быть очень аккуратным в отношении смысла слова «доходность».

На первый взгляд кажется, что инвестору нечего огорчаться, если стоимость его вложений сначала возрастет на 10%, а потом снизится на 10% — он просто вернется в исходное положение. Или не совсем? При росте на 10% цена его акций возрастет со 100 до 110, а при последующем понижении на 10% — понизится со 110 до 99.

Причина того, что инвестор имеет в конце меньше, чем в начале, кроется в примененном здесь способе подсчета доходности. Рост цены со 100 до 110 (+10%)— это увеличение на 10 относительно начальной цены 100, т.е. на 10%. Понижение со 110 до 99 — это уменьшение на 11 относительно начальной цены 110, т.е. на— 10%. Таким образом, величины изменения цены в этих двух случаях разные, хотя в процентном исчислении они одинаковые. Так получилось потому, что разными были базы для подсчета процентов.

Естественное желание получить итоговый результат, складывая процентные изменения, приводит, как показывает приведенный выше пример, к неверному ответу: 10% - 10% = 0%, хотя на самом деле имеет место падение цены на 1%. Правильный результат получается не при сложении процентных изменений, а при перемножении ценовых отношений. Ценовое отношение** — это просто отношение двух последовательных цен. В нашем примере это будут числа 110/100=1.10 и 99/110 = 0.90. Их произведение 1.10x0.90 = 0.99, и это дает правильный результат — итоговая цена составляет 0.99 от исходной.

К счастью, существует математический прием, позволяющий пользоваться сложением вместо умножения. Сумма логарифмов двух чисел дает логарифм их произведения3. Применяя этот прием, получим:

Это соображение в равной степени относится и к распределению роста людей. — Прим. ред.

** В оригинале price relative. — Прим. ред.

3 Можно пользоваться логарифмами по любому основанию, но в финансовом деле

In (110/100) = In (1 +0.1) 0.0953 или +9.53%

In (99/110) = ln (1-0.1) -0.1054 или -10.54%

ln ((110/100) х (99/100)) = -0.0101 или -1.01%.

Теперь понижение со 110 до 99 правильно изображается как большее фактическое уменьшение, чем первоначальный рост со 100 до 110.

Поэтому окончательный результат отрицательный, что означает итоговое понижение цены. Чтобы точно определить, какая итоговая цена соответствует показателю -1.01% , нужно применить возведение в степень — операцию, обратную логарифмированию. Так как выше использовались натуральные логарифмы, мы должны взять е-0 0101, что даст 0.99, или 99%. Таким образом, в результате всех вычислений мы получили итоговую цену 99, и, как мы знаем, это — правильный ответ.

Если суммировать изложенное, мы видим, что использование логарифмов ценовых отношений дает более правильный метод подсчета доходности, чем использование самих ценовых отношений. Другими словами, доходность удобнее определять равенством

Л+1

(ЮЛ)

доходность = In

а не обычно используемым соотношением:

t+1-i

(s

(10.2)

доходность в обычном смысле =

где St — рыночная цена в момент t, a Sf+1 — в момент t + 1.

Используя этот метод, давайте посмотрим, как изменится цена, если доходность за первый период времени составит +10%, а за сле-дующий -10%. При начальной цене 100 получаем:

SY =100хе+ОЛО =110.52,

S2 =110.52 хе~оло =100.00.

После повышения на 10% и снижения на 10% цена, в соответствии со здравым смыслом, вернулась к своему исходному уровню .

Посмотрим, как изменится цена, если доходность будет составлять + 10% ежегодно на протяжении 7 лет. При начальном значении 100 цена будет расти так:

100, 110.52, 122.14, 134.99, 149.18, 164.87, 182.21, 201.38.

В абсолютном выражении цена через семь лет удваивается, при этом последовательные ежегодные приращения цены каждый раз увеличиваются. Посмотрим теперь, что будет в случае уменьшения цены на 10% в течение 7 лет (тоже начиная со 100):

100, 90.48, 81.87, 74.08, 67.03, 60.65, 54.88, 49.66.

В этом случае за 7 лет цена уменьшается вдвое, и при этом ежегодные уменьшения цены становятся все меньше. Если мы отметим на горизонтальной шкале эти значения, показывающие изменения цены со временем, то получится диаграмма, изображенная на рис.

10.14. На ней хорошо видно, что вправо цены растут все сильнее, а влево — «сжимаются».

последовательные последовательные уменьшения цены увеличения цены 7 6 5 4 3 2 1 і і 1 2 3 4 і 5 6 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г"

50 75 100 125 150 175 200

цена

Рис. 10.14. Последовательные изменения цены во времени

Теперь вернемся к понятию финансовой доходности, считая, что она имеет нормальное распределение. Если доходность имеет симметричное нормальное распределение, то распределение цен будет иметь искаженное нормальное распределение; при этом искажения аналогичны искажениям на рис 10.14: левая часть распределения сжимается, а правая растягивается. В этом легко убедиться, сравнивая рис. 10.15, на котором изображена плотность нормального распределения доходности со средним 10% и стандартным отклонением 20%, с рис. 10.16, изображающим плотность соответствующего распределения цен.

среднее = 10% ст. откл. = 20%

Рис. 10.15. Нормальное распределение доходности

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

доходность

70 80

Рис. 10.15. Нормальное распределение доходности

цена

Распределение цен, показанное на рис. 10.16, называется логарифмически нормальным распределением, потому что логарифм рассматриваемой переменной (в данном случае— цены) распределен нормально. Чтобы лучше понять связь между доходностью и ценами, рассмотрим сначала распределение доходности.

Мы определили доходность как логарифмы ценовых отношений, и предположили, что они подчиняются нормальному распределению:

In

¦ ЛГ

V

V^o j

где

S0 — цена в момент времени 0,

St — цена в момент времени

N(rriyS) — нормально распределенная случайная величина со

средним га и стандартным отклонением 5, ц — годовая норма доходности (прибыли),

a — стандартное отклонение доходности в расчете на год,

а символ «~» означает «распределено так же, как ...».

Из соотношения (10.3) немедленно следует, что логарифм цены распределен нормально, так как

(Ю.4)

In (Sf) ~ In (S0)+ Jv(jLLt, ajt),

причем S0— константа. Таким образом, цены распределены лога-рифмически нормально и удовлетворяют соотношению

(10.5)

sn

^(nt.aVt)

Из (10.3) следует также, что средняя ожидаемая доходность есть просто цґ:

In

nt.

VSo J

(10.6)

где E [•] — оператор математического ожидания.

График на рис. 10.15 получается при |и = 10%, a = 20% и t- 1 год. Следовательно, средняя по годам доходность будет 10%, что соответ-ствует ценовому отношению еоло, или 1.1052. При начальной цене 100 среднее ценовое отношение к концу года будет равно 110.52. Удивительно, но это не совпадает со средней ожидаемой ценой 112.75, указанной на рис. 10.16. Чтобы разобраться, почему среднего-довая доходность отличается от средней цены, необходимо рассмот-реть весь спектр возможных значений доходности.

В плохой год доходность может составить -10% (на одно стандартное отклонение меньше среднего), что соответствует ценовому отношению 0.9048. В удачный год доходность может подняться до +30% (на одно стандартное отклонение больше среднего), и ценовое отношение получится равным 1.3499. Так как доходность распределена нормально со средним 10%, имеются равные шансы получить

доходность -10% или +30%, или, соответственно, ценовое отноше-ние 0.9048 либо 1.3499.

Если взять геометрическое среднее чисел 0.9048 и 1.3499, то получится (0.9048 х 1.3499)0,5 = 1.1052. Иными словами, если за плохим годом будет удачный год, то цена в итоге окажется такой же, как после лет со средней доходностью. Этот факт — прямое следствие нашего определения доходности, и он согласуется со всем сказанным.

Если же, однако, мы хотим оценить ожидаемую цену по прошествии одного года, то нужно взять не геометрическое, а арифметическое среднее всех возможных относительных цен. Арифметическое среднее типичного плохого года и типичного хорошего года равно (0.9048 + 1.3499)/2 = 1.1273, что несколько больше полученной ранее величины 1.1052 (и очень близко к среднему ценовому отношению 1.1275 с рис. 10.16). Хорошо известно, что арифметическое среднее набора чисел всегда не меньше их геометрического среднего.

Итак, ожидаемое ценовое отношение оказывается больше, чем и можно показать, что среднее значение ценового отношения вычисляется по формуле

Е [St/S0] = e»t+°2t/\ (Ю.7)

В частности, в рассмотренном примере ожидаемое ценовое отношение равно ?°-10+0-04/2 - 1.1275. При начальной цене 100 ожидаемая цена будет 112.75, что как раз равно среднему значению распределения, представленного на рис. 10.16.

Таким образом, средняя ожидаемая цена больше цены, опреде-ляемой средней доходностью. Выглядит парадоксально, но это — опять-таки следствие асимметричности логарифмически нормаль-ного распределения. Для доходности ниже среднего значения рас-пределение цен сжато, а для доходности выше среднего — растянуто. В то время, как повышенная и пониженная доходности симметрич-ны и компенсируют друг друга, соответствующие им цены не сим-метричны и друг друга не компенсируют. Вообще, если в удачный год доходность была равна |и + 8 , а в неудачный — |и - 8 , то ценовое отношение за два года составит

/

еЧе"8

= ец cosh(5)>eM,

так как cosh (8) больше единицы для любого 8^0. Это значит, что среднее ценовое отношение всегда больше ем . В приведенном выше конкретном примере ц = 10%, а 8 = 20%, что привело к среднему ценовому отношению 1.1273, очень близкому к правильно вычисленному математическому ожиданию ценового отношения 1.1275 . Из соотношения (10.7) видно, что чем больше дисперсия а2, тем сильнее асимметрия распределения цены и тем больше ожидаемое ценовое отношение.

Итак, мы убедились в том, что:

доходность следует измерять натуральным логарифмом ценового отношения (равенство (10.1)),

доходность имеет нормальное распределение (соотношение (10.3)),

цены имеют логарифмически нормальное распределение (соотношение (10.5)),

математическое ожидание ценового отношения больше ценового отношения, соответствующего средней доходности (равенство (10.7)).

Прежде чем показать, как эти результаты приводят к модели Блэка-Шоулса, вернемся еще раз к предположению, сделанному в начале пункта: доходности подчиняются нормальному случайному распределению. Была проделана большая работа по анализу реальных данных, относящихся ко всем основным секторам финансового рынка, и трудно сомневаться в том, что большую часть времени большинство курсов и цен испытывает случайные блуждания в соответствии с уравнением (10.5). Это не означает, что не могут возникать тренды или структурное поведение.

Наличие тренда распознается по члену ]it , который отвечает за смещение, а обнаружение структур — дело субъективное и сродни восприятию чернильных клякс в тестах Роршаха .

2.2000

2.1000

2.0000

1.9000

1.5000

1.8000

1.6000

1.7000

Наличие тренда распознается по члену ]it , который отвечает за смещение, а обнаружение структур — дело субъективное и сродни восприятию чернильных клякс в тестах Роршаха .

J I I I I I I I L

время

1.4000

Рис. 10.17. Характер случайного блуждания, свойственный финансовым ценам

Рис. 10.17. Характер случайного блуждания, свойственный финансовым ценам


В качестве примера рассмотрим 4 линии, изображенные на рис. 10.17. Одна из них показывает эволюцию обменного курса ?/$ за период 1986-1988 гг. Остальные три кривые, исходящие из той же точки, представляют собой последовательности цен, сгенерированные случайным образом в соответствии с уравнением (10.5), причем средние значения и дисперсии у всех трех последовательностей одинаковы. Вряд ли можно на глаз определить, какая из кривых соответствует реальным данным. Конечно, это не является доказательством случайной природы финансовых цен, а лишь наглядно показывает, что случайные данные очень похожи на реальные, а реальные — на случайные. Так какая же из кривых построена по реальным данным? Ответ вы найдете в сноске внизу страницы .

Логарифмическая нормальность распределения финансовых цен — это существенное предположение, лежащее в основе модели Блэка-Шоулса. В следующем пункте мы увидим, как его можно применить для определения справедливой цены опционов.

<< | >>
Источник: Галиц Л.. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансо-вым риском. — Москва: ТВП,1998. 576 с.. 1998

Еще по теме 10.6. ПОВЕДЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ЦЕН:

  1. 10.6. ПОВЕДЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ЦЕН
  2. ФИНАНСОВЫЕ РЕШЕНИЯ И УСТОЙЧИВЫЙ РОСТ
  3. Международный опыт построения системы индикаторов — предвестников финансовой нестабильности
  4. Глобальные финансовые кризисы: рабочее определение
  5. § 1.2. Модели финансовой репрессии
  6. Формирование организационной культуры финансовых менеджеров
  7. Управление Финансовыми инвестициями
  8. 2.6. Формирование цены в теории и практике и перспективы ценообразования
  9. 10. Взаимосвязь финансов с другими экономическими категориями: цена, стоимость, кредит, прибыль
  10. 4.1. Этапы развития финансово-инженерной парадигмы
  11. 2.3 Финансовая логистика
  12. Вопрос 98. Производные ценные бумаги, условия их функционирования на фондовом рынке.
  13. Структура рынка ценных бумаг
  14. Биномиальная модель финансового рынка. Безарбитражность, единственность риск-нейтральной вероятности, мартингальное представление.