7.1. Расчет затрат и цен на однородную продукцию на основе нелинейного программирования (метод Лагранжа)
Нелинейную задачу можно записать следующим образом: 1) yl (xv xv хп) = ЬЛ<і<т, 2 )Z= f(xv x2,..., xn) —> max (min).
Она, следовательно, состоит в нахождении такого вектора X = (х{, х2,..., хп), для которого целевая функция /принимает оптимальное (наибольшее или наименьшее) значение при условии, что переменныеxvx2,..., хп — аргументы/— удовлетворяют системе уравнений 1).
В этом смысле задача 1), 2) называется задачей условной оптимизации. При этом, конечно, предполагается, что по крайней мере одна из функций q{ I < і < т нелинейна. В противном случае это была бы задача линейного программирования. Об уравнениях 1) можно сказать, что они связывают переменные х , ху ..., х , поэтому их называют уравнениями связи.Методы решения нелинейных задач значительно сложнее, чем в линейном случае, поэтому мы остановимся только на одном из них — известном из классического математического анализа методе Лагранжа.
С этой целью рассмотрим функцию (и + т) переменных
т
L = (x -Л. -Л) = /(*і- -.•*•„) +?A,(<7,.(* хп)-Ь,), (7.1)
где А ,'..., Ат — некоторые коэффициенты, значения которых заранее неизвестны, и которые поэтому можно считать переменными — аргументами L.
Функция L называется функцией Лагранжа задачи 1), 2), а коэффициенты А. 1<і<т — множителями Лагранжа. Пусть Хопт= (*10, х20,..., хп0) — точка оптимума задачи 1), 2). Предположим, что в некоторой окрестности точки Хшт функции q.l ^(XmJ = 0 l Следовательно, для практического нахождения оптимального плана Хапт задачи 1), 2) следует составить функцию Лагранжа L, по формуле 7.1 вычислить ее частные производные первого порядка по всем переменным и решить систему (п + т) уравнений dL = 0 1<і<т, (7.3) dX, l dxk с (n + m) неизвестнымиxt, ...,xn, A,,..., Am, так как ~jr = 4i(x\> •••>лп)_^.> то первые m dAj уравнений системы (7.3) имеют вид q. (7.4) + x„) = 0 1<к<п. dxk ti Из сказанного выше следует, что координаты (лг10, х2п,хпй) оптимального плана вместе с некоторым набором (Я10, А20,..., А^) значений коэффициентов А, Я2,..., Ят образуют решение системы (7.4), поэтому оптимальный план исходной задачи 1), 2), если он существует, получается из некоторого решения (7.4) отбрасыванием найденных значений множителей Лагранжа. В этом смысле можно сказать, что оптимальный план Хопт порождается решением системы (7.4). Однако поскольку равенства (7.3) выражают лишь необходимое условие оптимальности, не всякое решение системы (7.4) порождает описанным образом оптимальный план задачи 1), 2). Более того, возможна ситуация, когда система (7.4) разрешима, но исходная задача математического программирования не имеет оптимального плана. Вопрос о том, когда решение (7.4) порождает оптимальный план (т. е. каковы достаточные условия оптимальности), сложен, и мы не будем на нем останавливаться. Рассмотрим практическую задачу, решение которой произведем методом Лагранжа. Предприятие производит щебень «п» видов, отличающихся друг от друга диаметром фракций. Известны: объемы производства щебня каждого вида (разных фракций); средний диаметр фракции каждого вида; • суммарные затраты на производство всей продукции по предприятию в целом. Требуется определить себестоимость производства единицы продукции каждого вида, исходя из следующих предположений: а) производственная себестоимость с точностью до постоянного слагаемого обратно пропорциональна диаметру фракции (в расчет взят средний диаметр фракции); б) производственная себестоимость производства щебня каждого вида тем ниже, чем больше доля данного вида продукции в общем объеме производства. Введем обозначения: а. 1<і<п, с — суммарные производственные затраты на производство. Производственная себестоимость единицы продукции г-го вида, являющуюся функцией диаметра фракции J., будем искать в виде (p(di) = x0+^~, 1<і<п, «і где х0, — коэффициенты, подлежащие определению. Очевидно, X > 0. Коэффициенты А'0, х будем искать, исходя из следующих условий: чтобы удовлетворить предположению а) суммарная производственная себестоимость всей продукции, вычисленная на основе теоретических построений, должна совпадать с фактической: п или И чтобы удовлетворить предположению б), коэффициенты Х0, должны быть подобраны так, чтобы tp(d) была обратно пропорциональна доле 1-го вида продукции в общем объеме производства. Точно удовлетворить этому условию невозможно. Для приближенного учета этой зависимости положим: " А А = У*а — общий объем производства продукции; а, = — ; / < і < п. и ' аі Неизвестные коэффициенты х0, х будем теперь искать так, чтобы разности с X. x°+d Дг = (p(dj) - ka, = -kat, I < г < n были по возможности наименьшими (здесь k — коэффициент пропорциональности, также неизвестный). Таким образом, получаем следующую математическую модель задачи: X. V d4 2 п 1 ¦ а, = с, X, Л2 •Я-Q Н™ kdI d: ¦min. (7.5) Для решения задачи введем функцию Лагранжа: х. Xn+-f- я, п х0 +-j-kai О: + А а, -с, ч^ L(x0,xvk, А) = ? и вычислим ее частные производные по х{, k, А.
dxо til^ + — \2 + У Я i-i
dL=2f dxl f X, l d> > -kdj 1 — + л AEJ I«1 ui
dL _ dk л ¦2S 1-І ? ДГо ч kat У •а,;
M n Ґ V •а,- с.
Задача сводится к нахождению коэффициентов х0, х,, а также k, А из следующей системы линейных уравнений: Ах0 + 'y.-rXf - с; 7^4 А 1 (7.6) пхп + H,JXI -2><* + -А = 0; л г? ^ л І=1 Ы "і i=l Исходные данные задачи приведены в табл. Исходные данные Таблица 7.1
Объемы производства (а/), тыс. м3 Размер фракций Средний диаметр фракции (Решение задачи на ЭВМ таково: = 0,198; дг, = 58,093, так что функция себестоимости (p(d) имеет следующий вид: ' ft(ft0 58,093 cp(d) = 0,198 + —-—. d Таблица 7,2 Себестоимость и рентабельность щебня каждой фракции и в целом по предприятию
№ п/п Фракции Объем производства щебня ah тыс. м3 Общая производственная себестоимость щебня за 1988 г., тыс. руб. Себестоимость Прибыль Рентабельность, %
размер фракций средний диаметр фракций d-„ мм единицы продукции q>(dj), руб. внепроизводственные расходы па единицу продукции за 1988 г., руб. полная себестоимость единицы продукции за 1988 г., руб. полная себестоимость ныпуска, тыс. руб. цена единицы продукции, руб. выпуска, тыс. руб.
1 40-70 55 435,6 X 1,026 0,354 1,380 601 3,20 1,82 793 132
2 20-40 30 463,6 X 2,063 0,354 2,417 1120 4,30 1,883 873 78
3 10-20 15 168 X 4,375 0,354 4,699 789 5,60 0,901 151 19
4 5-10 7,5 72,9 X 8,960 0,354 9,314 679 6,45 -2,864 -209 -
2782,6 3189 1608 50,4
Себестоимость и рентабельность щебня каждой фракции в целом по предприятию представлена в табл. 7.2. Как видно из табл. 7.2, в целом по предприятию наблюдается высокая рентабельность щебня размеров 40-70 и 20-40, низкая рентабельность щебня фракции 10-20 и убыточность щебня фракции 5-10. Отсюда напрашивается вывод или о несостоятельности действующих плановых цен в рассматриваемый период (что вполне вероятно), или о некотором несовершенстве построенной нами модели. Рассмотренная модель была построена применительно к возникшей на то время задаче. Руководство предприятия хотело знать, какова рентабельность щебня каждой фракции при действующих ценах на них и при «котловом» учете затрат. Вывод: потребность в применении математических методов в экономических задачах существует, и рассмотренная выше модель является примером этого.