7.3. Метод статистических игр и его использование при обосновании скидок с цен
Баланс производства и распределения услуг Цехи Собст-венные затраты, руб. Затраты Выпуск продукции Себесто-имость единицы X,, руб. по горизонтали — полученные услуги, по вертикали — предоставленные услуги всего затрат,
руб. (собст-венные +
услуги) (гр.1 + + гр. 6) единицы измерения количе-ство Qx цех сетей и подстанций цех водо-снабжения автотранс-портный цех ремонтно- механиче-ский цех итого, руб. (гр. 2 + + гр. 3 + + гр. 4 + + гр. 5) А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Цех сетей и подстан-ций 59 295 X 5000 т/км 499 руб. 50 н/ч 100 руб. 599 59 894 кВт/ч 3 000 000 0,019964 Цех водо-снабжения 4118 30 ООО кВт/ч 599 руб. X 600 т/км 60 руб. 100 н/ч 200 руб. 859 4977 м3 500000 0,0099536 Автопарк 24 020 4500 кВт/ч 90 руб. 5000 м3 50 руб. X 400 н/ч 800 руб. 940 24 960 т/км 250 000 0,0099837 Ремонтно- механиче- ский цех 36 785 100 000 кВт/ч 1996 руб. 1500 м3 15 руб. 12 000 тк/м 1198 руб. X 3209 39 994 н/ч 20 000 1,999716 Итого 124218 2685 руб. 65 руб. 1757 руб. 1100 руб. 5607 129 825 Цехи основного произ-водства 1 875 782 2 865 500 кВт/ч 57 209 руб. 4912 руб. 493 500 м3 232 400 ткм 23 203 руб. 19 450 н/ч 38 894 руб. 124218 Всего 2 ООО ООО 3 000 000 кВт/ч 59 894 руб. ІОООООм34 4977 руб. 250 ООО т/км 24 960 руб. 20 ООО н/ч 39 994 руб. 129 825 руб.
Терминология, которой пользуются в теории игр, ведет свое происхождение от спортивных и азартных игр.
Эти игры носят характер соревнования, происходящего по определенным правилам и заканчивающегося выигрышем того или другого игрока. В соответствии с этим и в теории игр стороны, участвующие в игре, условно именуются игроками, а оценка исхода игры — выигрышем (или проигрышем, платежом). При этом игроками могут быть как отдельные личности, так и целые коллективы людей, имеющих общие цели. В игре могут сталкиваться интересы двух и более противников. В первом случае игра называется парной во втором — множественной. Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является игра двух лиц с нулевой суммой. В этих играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон равна нулю. Здесь один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй.Объектом нашего изучения является парная статистическая игра, базирующаяся на теории матричных игр двух лиц с нулевой суммой.
В теории статистических игр различают такие понятия, как: исходная стратегическая игра и собственно статистическая игра. Согласно этой теории, 1 -го игрока называют «природой», под которой понимают совокупность обстоятельств, в условиях которых приходится принимать решения 2-му игроку, называемому «ста-тистиком». В стратегической игре как 1-й, так и 2-й игрок действуют активно, оба заинтересованы в выигрыше, оба стремятся выбирать такие стратегии, которые им выгодны. Для стратегической игры характерна полная неопределенность в выборе стратегий каждым игроком, т. е. каждый из игроков ничего не знает о стратегии другого. В стратегической игре оба игрока действуют на основе детерминированной информации, определенной матрицей потерь.
В собственно статистической игре «природа» не является активно действующим игроком в том смысле, что она не выбирает для себя всегда оптимальные стратегии, так как не заинтересована в выигрыше и не оказывает противодействия достижению цели 2-м игроком. «Статистик» (2-й игрок) в статистической игре стремится выиграть игру у воображаемого противника — «природы». Если в стратегической игре игроки действуют в условиях полной неопределенности, то для статистической игры характерна частичная неопределенность.
Дело в том, что «природа» развивается и «действует» в соответствии со своими объективно существующими законами. У «статистика» есть возможность постепенно изучать эти законы (на основе статистического эксперимента), выявлять механизм, с помощью которого, учитывая устанавливаемые вероятности, реализуются разные состояния (стратегии) «природы».Таким образом, безразличие «природы» к игре и возможность получения «статистиком» в ходе соответствующего статистического эксперимента дополнительной статистической информации о состоянии «природы» отличают игру «статистика» с «природой» от обычной стратегической игры, в которой принимают участие два заинтересованных антагонистических противника. Введем обозначения:
Q — множество состояний (стратегий) «природы», Q = вк)\
в, — отдельное состояние (стратегия) «природы», (j = 1, 2,..., к); А — множество решений (стратегий) «статистика», А = (а ,..., а,); а — отдельное решение «статистика» (г = 1,...,/);
L(q, а.) — функция потерь (платежа) «статистика» или платежная матрица с к строками и I столбцами. Функция потерь определяется на прямом произведении множеств состояний «природы» и решений статистика.
Тройку (Д A, L) обычно называют исходной стратегической игрой, так как ее основу составляет детерминированная информация, определяемая функцией потерь. Если «статистик» не имеет возможности провести эксперимент с целью получения дополнительной статистической информации о состоянии «природы», то при принятии решения он будет ограничиваться исходной стратегической игрой. Если же «статистик» может провести статистический эксперимент и получить на его основе дополнительную статистическую информацию о состоянии «природы», то функция потерь L(6, а) в исходной стратегической игре уже не будет удовлетворять «статистика» как основа принятия решения. Имея дополнительную информацию о состоянии «природы», «статистик» при принятии решения будет руководствоваться какой-то функцией решения, и в результате исходная стратегическая игра (Д A, L) превращается в собственно статистическую игру (Д Д, R).
Дополнительная информация в собственно статистической игре выступает в виде вектора оценокХ = (X,, Х2,..., Хк) состояний «природы» (6V..., вк). Заметим, что дополнительную статистическую информацию о состоянии «природы» «статистик» может получить не только на основе собственного эксперимента (например, анкетного опроса), но и на основе собственного опыта и интуитивного представления о том, какие из состояний «природы» являются более правдоподобными, а какие менее.«Статистик», получив дополнительную информацию в виде вектора оценок X = (Xv ..., Хк), состояний «природы» (в,,..., вк), как отмечено выше, будет теперь при принятии решения а є А руководствоваться какой-то функцией решения d(x). Функция d(x)(d : х —> А, х є X, а є A, d(x) = а), отображающая множество выборок экспериментов X в множество решений «статистика» А = (а , ау ..., ае), называется нерандомизированной функцией решения «статистика». Эта функция показывает «статистику», какое решение ае А «статистик» должен выбрать, когда наблюдается результат эксперимента х. Существует много функций решения d(x), которыми мог бы воспользоваться «статистик». Множество всех нерандомизированных функций решения d(x), которое представляет собой множество всех стратегий «статистика», обозначается через Д. «Статистик» ищет оптимальную функцию решения de Д, которая будет его стратегией. Для сравнения различных функций решения и выбора из них наилучшей «статистик» должен знать их характеристики и критерии выбора. Числовой характеристикой функции решения d(x) является функция риска R(d, d), представляющая собой математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии «природы» би заданной функции условного распределения случайной переменной ХР (х/в) ввиду того, что а = d(x). Для фиксированного состояния «природы» би выбранной функции решения d є Д риск R(6, d) играет роль платежа в игре «статистика» с «природой». Этот платеж будет средней потерей «статистика», если многократно используется функция решения d є Д, а «природа» принимает состояние б є Д
246 Глава VI1. Математико-статистические методы и их применение в задачах ценообразования
функции решения dm є Дрискдля каждого состояния «природы» 0 = (/' =1, 2 к)
определяется по формуле:
5
Функция риска определяется на прямом произведении Q • Д множества состояний «природы» и множества функций решения.
Для каждой нерандомизированной где Р{хі | в.} — условная вероятность оценки X, при состоянии «природы» в. (І - 1, 2...., t,j - і, 2,..., к).Далее в матрице функции риска Я(в, d) ищется минимальная стратегия, для чего в каждом столбце матрицы находим наибольший элемент, а затем среди них выбираем минимальный. Столбец с этим минимальным элементом указывает искомое решение «статистика» в зависимости от результата эксперимента.
Предпосылки обращения к теории статистических игр в области ценообразования. Известно, что спрос на товары формируется под воздействием различных факторов и зависит в том числе от моды, вкусов, предпочтений покупателей, природно-климатических факторов. Эти факторы ведут к сезонному спросу товаров, так как изменение указанных факторов оказывает на спрос сильное влияние. Это влияние особенно сильно сказывается на товарах легкой промышленности: обуви, одежде, текстиле, галантерее и т. д. Непроданные вовремя товары и в будущем могут не найти своих покупателей, что приведет к потерям, росту торговых издержек. В связи с этим торговые предприятия в конце сезона организуют расширенную продажу сезонных товаров по сниженным ценам. Понятно, что решение о размере снижения цен при сезонной распродаже не может приниматься необдуманно. Прежде всего должна приниматься во внимание предполагаемая реакция покупателей на снижение цен сезонных товаров, которая, как известно, измеряется эластичностью спроса от цены. На практике эластичность спроса от цены изучается применительно к основным потребительским товарам и товарным группам (например к мужской одежде). Эластичности спроса от цены на отдельные конкретные изделия (например швейные, текстильные), продажа которых носит сезонный характер, являются неизвестными. В связи с этим можно полагать, что сезонное снижение цен имеет характер игры торгового пред-приятия («статистика») с «природой». Принятие решения о размере снижения цен может рассматриваться как поиск оптимальных цен в условиях неопределенности, что дает возможность использовать теорию статистических игр.
Рассмотрим пример: определение размера сезонного снижения цен на основе теории статистических игр.
Торговое предприятие имеет 500 нераспроданных женских летних платьев, средняя цена которых равна 200 руб., а затраты на их приобретение у производителя — 120 руб. Предприятие знает, что данный товар подвержен быстрому изменению моды и в будущем может не найти покупателей. И если его вовремя не продать, то это приведет к увеличению торговых запасов и издержек. Предприятие решает снизить цены, чтобы вызвать дополнительный спрос на платья. Ясно, что решение о размере снижения цен при сезонной распродаже товаров должно быть продуманным и свести потери торгового предприятия к минимуму. Предприятие решает рассмотреть четыре варианта снижения цены — на 20,30,40,50%. При этом оно должно учитывать предполагаемую реакцию покупателей на сезон-
ное снижение цен, которая измеряется эластичностью спроса от цены, показывающей, на сколько процентов в среднем возрастает спрос на товар, если цена его снижена на 1%. Эластичность спроса от цены определяется по формуле:
q АК АЦ
к -If
где Э — эластичность спроса от цены; К — спрос на товар при заданной цене (Ц) на него; ДЦ — абсолютное изменение цены; АК — прирост спроса на товар при снижении цены (Ц) на него на величину АЦ.
Итак, требуется определить оптимальный размер снижения цены на платья, при котором потери торгового предприятия будут минимальными.
В рассматриваемой задаче в качестве 2-го игрока («статистика») выступает торговое предприятие. В качестве 1-го игрока («природы») выступает реакция покупателей на изменение цены на рассматриваемые платья, т. е. эластичность спроса от цены, о которой торговое предприятие в данный момент знает лишь то, что этот спрос на платья может быть как малоэластичным, так и высокоэластичным. Каким в действительности является этот спрос, предприятие не знает, но может выявить его либо на основе проведения экспресс-опроса, либо использовать для его оценки информацию, полученную на основе ранее проведенных наблюдений и расчетов. В качестве показателей, характеризующих стратегию «природы», выступает распределение вероятностей, с которыми «природа» применяет свои стратегии (малую и высокую эластичность спроса).
Создадим структуру статистической игры, соответствующую проблеме сезонного снижения цен.
Введем обозначения:
Q — множество возможных состояний «природы», включающее два ?2 - {0,, в2} элемента, где в{ соответствует малоэластичному спросу на данную группу одежды при изменении цены, а в2 означает, что эластичность спроса от цены высокая;
А — множество возможных решений торгового предприятия, включающее 4 элемента: А = {а,, а2, ау а4), где а, — решение снизить цену на данный товар в среднем на 20%; а2 - на 30%; а3 - на 40%; ак - на 50%;
Ь(в, а) — функция потерь торгового предприятия, которая имеет конкретное число 2x4 значений.
Каждый элемент этой функции потерь определяется на основе следующих данных:
количество нераспроданных платьев — 500 штук;
закупочная цена товара — 120 руб.;
продажная цена товара — 200 руб.;
решение торгового предприятия о снижении продажной цены на: 20, 30, 40, 50%;
коэффициенты эластичности (по данным конъюнктурного института) при малой эластичности спроса от цены на аналогичные товары в размере 1; 1; 1.1; 1 и при высокой эластичности спроса от цены в размере 1,5; 2,33; 2; 1,8;
предполагаемый объем продажи платьев (штук) в результате снижения цен (который надо определить).
Предполагаемый объем продажи платьев в результате снижения цены определяется исходя из формулы эластичности спроса от цены, которая имеет вид:
К АЦ ~ К' Ц'
откуда:
Ц
ЬЦ
Поскольку —ц- = а — снижению цены в процентах, то предполагаемый объем
продаж ДК0) (г = 1,1 ;j = 1,2) в зависимости от коэффициента эластичности 9j (j = /, 2) может быть вычислен по формуле:
(Заметим, что если правая часть этого равенства станет больше К, то принимаем АК = К.)
При состоянии «природы» 0! и 02 значения функции потерь для решения av а2, ау ai вычисляются как разность между закупочной стоимостью нераспроданных 500 платьев и выручкой от предполагаемого объема продаж после снижения цен.
Представим соответствующие расчеты в табл. 7.6 и 7.7 применительно к состояниям «природы» 0j и 02.
Таблица 7.6
Состояние «природы» вЛ Решение «стати-стика» Сниже-ние цены, % Новая цена, руб. Предполагаемый объем
продаж в результате снижения цен, шт. Предпола-гаемый объем продаж, руб. (гр. 3 - гр. 4) Закупочная цена товара,
руб. (500 • 120) Потери, руб. (гр. 6 - гр. 5) а\ 20 160 100 16 000 60 000 44 000 30 140 150 21 000 60 000 39 000 аг 40 120 220 26 400 60 000 33 600 а4 50 100 250 25 000 60 000 35 000 Средняя продажная цена (100-0) В табл. 7.6 гр. 3 — новая цена (руб.) — .
Так, новая цена при снижении средней цены на 20% будет равна:
200-(100-20)
^ = 160 руб. и т. д.;
гр. 4 — предполагаемый объем продаж в результате снижения цен исчисляется по формуле:
= К Э..
' ' J
Так, снижение цены соответственно на 20, 30, 40, 50% вызовет приблизительно следующий дополнительный спрос на платья: ДАТ,' = 0,2-500- 1 = 100 штук; АК21 = 0,3 • 500 • 1 = 150 штук; АК3 = 0,4 • 500 • 1 = 200 штук; АК/ = 0,5 ¦ 500 ¦ 1 - 250 штук.
Таблица 7.7
Состояние «природы» в2 Решение «стати-стика» Сниже-ние цены, % Новая цена, руб. Предполагаемый объем
продаж в результате снижения цен, шт. Предпола-гаемый объем продажи,
руб. (гр. 3 - гр. 4) Закупочная цена товара, руб. (500 • 120) Потери, руб. (гр. 6 - гр. 5) О] 20 160 150 24 000 60 000 36 000 аг 30 140 350 49 000 60 000 11 000 аг 40 120 400 48 000 60 000 12 000 а\ 50 100 450 45 000 60 000 15 000 В табл. 7.7 гр. 4 — предполагаемый объем продаж в результате снижения цен. АК,2 = 0,2 • 500 • 1,5 = 150 штук; АК,2 = 0,3 ¦ 500 • 2,33 = 350 штук; АК32 = 0,4 • 500 • 2,0 = 400 штук; АК* = 0,5 • 500 • 1,8 = 450 штук.
Значения функции потерь L(6, а) запишем в матрицу (табл. 7.8).
Таблица 7.8
Значения функции потерь Цв, а) (тыс. руб.)
в вз а4
Таблица 7.9 Редуцированная матрица значений функций потерь (тыс. руб.)
~—— а о а2 «3
39 33,6
02 11 12
стичный (Xj) или высокоэластичный (х2). Это и есть дополнительная статистическая информация (оценки) о состоянии «природы». В результате исходная стратегическая игра (Ц A, L) с представленной выше функцией потерь преобразуется в собственно статистическую игру (?2,Д, R). При проведении анкетного опроса покупатели должны ответить, к примеру, на вопрос: «При каком снижении цен (на 30, 40%) вы не произвели бы покупку? Не устраивающее вас значение подчеркнуть». Результаты опроса будут иметь вид двумерного множества^ = {х^х^, гдел^ означает низкую оценку, ах2 — высокую оценку эластичности спроса от цены. Допустим, результаты опроса показали, что на снижение цены на 30% согласны 10% опрошенных, на снижение цены на 40% согласны также 10% опрошенных, остальные 80% опрошенных не подчеркнули ни одно число, т. е. практически отказались от покупки. Вывод: спрос на платья в результате предполагаемого снижения цен оказался на деле малоэластичным. Торговое предприятие, принимая решение о сезонном снижении цен, должно обращать внимание полученную в результате опроса информацию о спросе. Учитывая возможность ошибок при проведении единовременного анкетного опроса случайно отобранных покупателей, примем следующие условные распределения результатов^ их2в зависимости от действительного состояния «природы» 0, и в2, т. е. от мало- или высокоэластичного спроса: P{xJ в,}-0,7 Р {л-, | 02} =0,2 Р {х, | 0,} =0,3 Р {х21 в2) =0,8 Приведенные условные распределения являются априорными величинами, полученными на основе многих ранее проведенных наблюдений (к примеру конъюнктурным институтом). С учетом двух возможных экспериментальных значений оценок лг, и х2, которым соответствует одно из двух допустимых решений торгового предприятия — а2 или а3, множество нерандомизированных функций будет состоять из 4 элементов. Число элементов множества Д = {di} равно числу выбираемых статистиком решений (в нашем случае — двум — (а3 и а4), возведенному в степень, равную числу результатов эксперимента (в нашем случае число это равно двум — и х2), т. е. 22 = 4). Откуда Д = {dt, d2, dy JJ. Запишем нерандомизированные функции в табл. 7.10. Нерандомизированные функции с учетом результатов эксперимента, как было указано выше, помогают выбрать то или иное решение. Например, функция d3 означает, что нужно принять решение а3, если результатом эксперимента является .г, и решение а2, если результатом эксперимента является х2. Для каждой из этих четырех нерандомизированных функций решения можно с учетом обоих Таблица 7.10 Нерандомизированные функции
х ~~ —— d, d2 d3 d4
a2 a2 a3 a3
*2 a2 a3 a2 Оз
состояний «природы» 0, и 02 вычислить значения функции риска R(6, d). Функция риска R(6, d) определяется по формуле: R(ej,dJ = fi?iejai)-P{xfij}. ;=i Для 0, и dx R(6t, rfj) = 39 • 0,7 + 39 • 0,3 = 39. Поскольку функция решения d{ как результату л:,, так и результату х2 эксперимента приписывает решение а2, которое при действительном состоянии «природы» 0t обусловливает потерю 39 тыс. руб., причем относящиеся к этому состоянию «природы» условные вероятности результатов л: и х2 будут соответственно, 0,7 и 0,3. Вычислим остальные значения функции риска: R(0,, d2) = 39 • 0,7 + 33,6 ¦ 0,3 = 37,38. Я(0,, d3) = 33,6 • 0,7 + 39 ¦ 0,3 = 35,22. fl(0,, rf4) = 33,6 ¦ 0,7 + 33,6 ¦ 0,3 = 33,6. Я(02, rf,)-11-0,2+ 11-0,8-11,0. R(e2,d2) = 11-0,2+ 12-0,8=11,8. R(92, d3) = 12 • 0,2+ 11 • 0,8 = 11,2. R(92, = 12 • 0,2+12 • 0,8 = 12,0. Значения функции риска R(q^ d) запишем в матрицу (табл. 7.11). Таблица 7.11 Матрица значений функции риска /7(0, d)
d, di d3 <,
39 37,38 35,22 33,6
01 11 11,8 11,2 12
Найдем оптимальное решение для полученной матричной игры. Оптимальным будет такое решение о размере сезонного снижения цен на летние платья, которое в максимальной мере оберегает торговое предприятие от высоких потерь. Наиболее осторожной функцией решения будет минимаксная стратегия «статистика». Выбираем для каждого столбца матрицы значений функции риска «наибольший» элемент, а затем среди них выбираем минимальный элемент, тем самым определяя столбец d{ с этим минимальным элементом. В нашей задаче среди максимальных элементов минимальным является число 33,6. Этому числу соответствует нерандомизированная минимаксная функция решения d4. Так как эта функция определялась следующим образом: = аъ и dA(x2) = ау то это означает, что оптимальной, т. е. наиболее осторожной стратегией торгового предприятия в данном случае будет сезонное снижение цен на 40%, безотносительно к результатам анкеты, т. е. и в том случае, когда анкета оценила спрос как малоэластичный, и в том, когда оценка указывала на высокоэластичный спрос.