18. Статистический анализ

Зависимость экономических показателей обычно носит не функциональный (жесткий, задаваемый формулой), а статистический (мягкий, вероятностный) характер. Рассмотрим два наиболее известных метода анализа статистической взаимосвязи двух показателей.

Пусть каждый из множества однородных объектов характеризуется двумя показателями. На рис. 13 объекты изображены точками плоскости с соответствующими координатами. Ставится вопрос о характере статистической взаимосвязи этих показателей. Возможны три случая.

а) положительная б) отрицательная в) нулевая

Рис.13. Корреляционная взаимосвязь показателей.

1) Имеется прямая зависимость, т.е. относительно большим значениям одного показателя отвечают, как правило, относительно большие значения другого показателя. Соответствующее множество точек представляет собой фигуру, вытянутую вправо-вверх (рис. 13 а). В этом случае говорят о наличии положительной корреляции показателей.

2) Имеется обратная зависимость, т.е. относительно большим значениям одного показателя отвечают, как правило, относительно меньшие значения другого показателя. Соответствующее множество точек представляет собой фигуру, вытянутую вправо-вниз (рис. 13 б). В этом случае говорят о наличии отрицательной корреляции показателей,

3) Отсутствует взаимосвязь показателей, т.е. относительно большим значениям одного показателя отвечают произвольные (большие, меньшие, средние) значения другого показателя. Соответствующее множество точек расположено на плоскости хаотично, оно не имеет направленности ни вверх, ни вниз (рис. 13 в). В этом случае говорят о нулевой корреляции показателей.

Наличие корреляционной связи позволяёт выдвинуть гипотезу о влиянии одного показателя на другой. Для обоснования такой гипотезы необходимо дополнить статистический анализ содержательным экономическим анализом сущности исследуемого явления.

Для точного измерения степени статистической взаимосвязи двух показателей используют коэффициент парной корреляции. Опишем алгоритм вычисления этого коэффициента.

1. Вычислим среднее значение каждого из двух исследуемых показателей для всей совокупности объектов.

2. Для каждого объекта вычислим отклонение значения первого показателя от соответствующего ему среднего значения и отклонение значения второго показателя от соответствующего ему среднего значения.

3. Для каждого объекта вычислим произведение соответствующих отклонений обоих показателей. Сложим эти произведения по всей совокупности объектов, обозначим эту сумму через А.

4. Сложим квадраты отклонений для первого показателя по всей совокупности объектов, обозначим эту сумму через В.

5. Сложим квадраты отклонений для второго показателя по всей совокупности объектов, обозначим эту сумму через С.

6. Рассчитаем коэффициент парной корреляции (R) по формуле

R= А/(BС)0,5 (17)

Основные свойства коэффициента парной корреляции:

• лежит в промежутке от минус единицы до плюс единицы;

• равен по модулю единице, если исследуемые показатели связаны линейной функцией (соответствующие точки лежат на прямой).

Таблица 1. Расчет коэффициента парной корреляции

i	X	У	∆х	∆ у	∆x∆y	∆x	∆у2
1	1	3	4	5	6	7	8
1	1	6	-2	2	-4	4	4
2	4	5	1	1	1	1	1
3	4	1	1	-3	-3	1	9
∑	9	12	0	0	-6	6	14

П р и м е р 21.

Число А равно сумме элементов шестого столбца, число В — сумме элементов седьмого столбца, число С — сумме элементов восьмого столбца. Коэффициент парной корреляции, согласно формуле (17), равен:

R = (-6) : (6 - 14)°,5 = -0,65.

В приведенном примере число исследуемых объектов (строк) слишком мало, для того чтобы дать обоснованное заключение о наличии корреляционной связи. Данный пример приведен лишь для иллюстрации алгоритма расчета коэффициента парной корреляции.

Рассмотрим другой важный метод статистического анализа, который применяется для исследования динамики показателя, т.е. нения во времени. Данная зависимость изображается множеством то-чек, у которых абсциссы показывают моменты времени, а ординаты соответствующие значения показателя. Разберем простейший случай когда все значения исследуемого показателя приводятся на начало года. Ставится задача о нахождении линейной функции, которая наилучшим образом описывала бы тенденцию изменения данного показателя. Иными словами, необходимо построить прямую, точки которой окажутся как можно ближе к точкам графика. Такая функция (и ее график) называется линейным трендом. На рис. 14 линейный тренд изображен прямой m.

Линейный тренд позволяет решить важные задачи исследовании динамики показателя:

• выявить характер изменения (возрастание или убывание) показателя за весь исследуемый период времени. Дело в том, что в одни годы показатель может возрастать, а в другие — убывать. На рис. 14 тренд имеет положительный наклон, т.е. показатель в целом увеличивался, хотя в период 2001—2002 гг.

• определить средний годовой прирост исследуемого показателя. Он равен тангенсу угла наклона линейного тренда к оси абсцисс (угол а на рис. 14);

• определить приближенное значение показателя в произвольный момент времени из исследуемого периода, т.е. осуществить линейную интерполяцию. На рис. 14 дано геометрическоё решение задачи интерполяции для момента времени, отвечающего середине 2001 г.

2000 2001 2002 2003 2004 Время

Рис. 14. Линейный тренд

На линейном тренде отмечена точка А, у которой абсцисса равноудалена от точек, соответствующих началу 2001 г. и началу 2002 г. Ордината точки А равна искомому приближенному значению показателя;

• определить приближенное значение показателя в будущий момент времени, выходящий за пределы исследуемого периода, т.е. осуществить линейную экстраполяцию. На рис. 14 дано геометрическое решение задачи экстраполяции для момента времени, отвечающего началу 2004 г. Предполагается, что тренд построен по известным данным за четыре года (2000—2003 гг.). На графике линейного тренда отмечена точка В, ордината которой равна искомому прогнозируемому значению показателя.

Расчет параметров линейного тренда существенно упрощается в случае, когда число моментов времени (лет) нечетно. Тогда средний по порядку год фиксируется и ему присваивается нулевой номер. Следующему году присваивается первый номер, предыдущему году — минус первый и т.д. Таким образом, если число рассматриваемых лет равно пяти, они получают порядковые номера от минус двух до двух. Переменную, указывающую порядковый номер года, обозначим через i, а соответствующее значение исследуемого ;показателя — через.

Опишем алгоритм вычисления параметров a и b линейного тренда:

у = а + bi. (18)

1 . Вычислим параметр а, он равен среднему значению исследуемого показателя за весь период времени.

2. Для каждого года i вычислим произведение i и у (оно может быть отрицательным, положительным или нулевым). Сложим все эти произведения, сумму обозначим через М. Если это число положительно то тренд, возрастает, если отрицательно — то убывает.

3. Сложим квадраты порядковых номеров лет, обозначим эту вспомогательную сумму через N.

4. Рассчитаем угловой коэффициент линейного тренда по формуле

b= М: N.

Данное число равно среднему годовому приросту показателя за исследуемый период времени.

Таблица 2. Расчет параметров линейного тренда

Год	i	у	iy
1	2	3	4	5
1995	-2	10	-20	4
1996	-1	9	-9	1
1997	0	12	0	0
1998	1	14	14	1
1999	2	20	40	4
∑	0	65	25	10

П р и м е р 22. Расчет параметров линейного тренда удобно вести в табличной форме (табл. 2). Число основных строк в таблице равно числу лет, в дополнительной строке записывают суммы элементов столбцов. Порядковые номера лет указаны во втором столбце, а значения исследуемого показателя — в третьем.

Параметр а линейного тренда равен сумме элементов третьего столбца, деленной на число лет (65 : 5 = 13). Число М равно сумме элементов четвертого столбца, а число N— сумме элементов пятого столбца. Угловой коэффициент линейного тренда b равен отношению этих чисел (25 : 10 = 2,5). Итак, уравнение линейного тренда имеет вид:

у = 13 + 2,5i.

Используем полученную формулу для решения задач интерполяции и экстраполяции. Для оценки значения показателя в середине 1998 г. надо данному моменту времени приписать условный порядковый номер 1,5. Тогда соответствующее приближенное значение будет равно:

у = 13 + 2,5 • 1,5 = 16,75.

Для получения прогноза на 2005 г. надо приписать данному году порядковый номер 8. Тогда искомое ожидаемое значение показателя будет равно 33.

При использовании метода линейного тренда необходимо учитывать степень его надежности. Если точки, отвечающие фактическим значениям показателя, расположены близко к графику линейного тренда, то надежность метода высока. Если же имеется большой разброс указанных точек, то надежность мала. В первом случае коэффициент парной корреляции для исследуемого показателя и параметра времени относительно велик по модулю, а во втором случае этот коэффициент близок к нулю.