Равновесие в линейной модели производства
Рассмотрим геометрический метод определения равновесия производителя, выпускающего два продукта в рамках описанной выше линейной модели производства. Суть данного метода заключается в следующем.
Каждое линейное ограничение задает некоторую полуплоскость, поэтому множество планов представляет собой многоугольник, образованный пересечением нескольких полуплоскостей (их число равно числу ресурсов). Поскольку функция выручки линейна, она достигает своего максимального значения в одной из вершин этого многоугольника.Оптимальность или неоптимальность вершины многоугольника зависит от наклона изоквант функции выручки. Условие оптимальности плана производства состоит в том, что проходящая через него изокванта функции выручки не должна пересекать внутреннюю часть многоугольника. Иными словами, в точке равновесия изокванта функции выручки касается многоугольника планов.
Пример 1. Запасы ресурсов, технологические коэффициенты и цены продуктов заданы в табл. 1. Найдем оптимальный план производства.
Таблица 1. Линейная модель производства
|
| Продукт X
| Продукт У
| Запас
|
| Ресурс М
| 4
| 2
| 100
|
| Ресурс N
| 2
| 5
| 90
|
| Цена продукта
| 10
| 15
| -
|
Функция выручки:
TR=10x+15y.
Ограничение для первого ресурса:
4х + 2у 
100. Ограничение для второго ресурса:
2х + 5у < 90.
Пересечение полуплоскостей, задаваемых ограничениями, образует в области положительных значений выпусков четырехугольник ОАВС с вершинами О (0; 0), А (0; 18) и С (25; 0). Чтобы найти координаты вершины В решаем систему двух уравнений, отвечающих ограничениям, отсюда х = 20,у = 10.
На рис.
3 изображены два случая пересечения изокванты функции выручки и множества планов производства ОАВС. Изокванта изображена пунктирной прямой. В обоих случаях угловой коэффициент наклона изокванты к оси абсцисс одинаков и равен отношению цен продуктов (10 : 15) Изокванта, проходящая через вершину С, рассекает многоугольник на две фигуры, поэтому этот план не оптимален (см. рис. 3 а). Изокванта, проходящая через вершину В, имеет с многоугольником единственную общую точку (касается его), поэтому этот план оптимален (см. рис. 3 6).Итак, оптимальный план производства В включает 20 единиц продута Х и 10 единиц продукта У. Максимальная выручка равна 350 (10•20 + 15 • 10).
|
| ||||||
 | | ||||||
|
|
а) С- не оптимальный план б) В- оптимальный план
Рис. 3. Производство двух продуктов