12. Основы предельного анализа

Экономистов часто интересует характер влияния одного показателя на другой. В математике, как известно, такую зависимость показателей называют функцией, первый показатель (х) — аргументом, а второй показатель (F) — значением функции или просто функцией.

До появления предельного анализа экономисты в своих рассуждениях широко использовали показатель среднего значения функции, равный отношению функции к аргументу. Обозначим этот показатель через АF (от англ. averag— среднйй), тогда

Как видно из рис. 10, среднее значение функции равно тангенсу угла наклона отрезка ОМ, соединяющего начало координат и соответствующую точку графика функции (угол α).

0 x X

Рис.10. Среднее значение функции

Пример 10. Рассмотрим зависимость выпуска, т.е. количества произведенных рабочим деталей (F), от продолжительности его рабочего дня (х). Среднее значение функции в данном случае представляет собой среднюю производительность труда. Если рабочий за 8 ч изготовил 40 деталей, то средняя производительность его труда составит 5 деталей в час.

В дальнейшем для более глубокого исследования экономических процессов потребовалось ввести понятие, отражающее чувствительность изменения функции в ответ на изменение аргумента. Экономисты стали использовать показатель предельного значения функции.

Предельное значение функции еcть отношение прироста функции к приросту аргумента. При этом изменение аргумента трактуется как увеличение достигнутого значения этого показателя на некоторую дополнительную (последнюю, предельную) величину. Отсюда и название «предельное приращение», которое означает «последнее» из наблюдаемых приращений показателя.

Обозначим предельное значение функции через МF (от англ. marginal— предельный), тогда

Если приращение аргумента мало, то данная формула задает производную нашей функции, т.е. в этом случае

МF = F׳(x)

Рис. 2.11. Предельное значение функции

Как видно из рис.11, предельное значение функции равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к соответствующей точке графика функции (угол В).

П р и м е р 11. По-прежнему рассматривается зависимость выпуска от затрат рабочего времени. Предельное значение функции здесь представляет собой предельную производительность труда. Если рабочий увеличил свой рабочий день с 8 до 10 ч и выпуск при этом увеличился с 40 до 48 деталей, то предельная производительность труда составит:

(48 - 40) : (10 - 8) = 4 детали/ч.

Понятие предельного значения функции (понятие производной) позволяет сформулировать условие, при котором функция принимает максимальное или минимальное значение: в этом случае предельное значение функции равно нулю, а касательная к графику функции параллельна горизонтальной оси (точка х0 на рис. 11).

Рассмотрим более сложный случай, когда исследуется зависимость одного показателя (F) от двух других независимых между собой показателей (х и у). Тогда предельное значение функции определяют для каждого из двух аргументов. Так, предельное значение функции для первого аргумента (МFХ) равно отношению прироста функции к вызвавшему этот прирост приращению данного аргумента при некотором неизменном значении другого аргумента. Аналогично определяют предельное значение функции для второго показателя (МF). Согласно определению, имеем

, .

Если приращения аргументов малы, то данные формулы задают частные производные нашей функции, которая принимает максимальное или минимальное значение, если оба ее предельных значения (частные производные) равны нулю.