Линейная модель производства

Предположим, что некоторое предприятие выпускает продукты X и У, расходуя при этом ресурсы М и N. Введем обозначения:

х — выпуск продукта X;

у — выпуск продукта У;

m — имеющийся в наличии объем ресурса М (его запас);

n — имеющийcя в наличии объем ресурса N (его запас);

a — расход ресурса М при производстве единицы продукта X;

a — расход ресурса M при производстве единицы продукта X;

а21 — расход ресурса N при производстве единицы продукта Y;

а22 — расход ресурса N при производстве единицы продукта Y;

рх — цена продукта X;

ру — цеyа продукта У.

В данном случае никакая обычная производственная функция не может описать процесс производства, поэтому роль производственной функции выполняет функция общего дохода (выручки):

(1)

Первое слагаемое в правой части равенства (1) равно стоимости произведенного продукта X, а второе слагаемое — стоимости произведенного продукта У.

Отметим, что при заданных запасах ресурсов максимум прибыли достигается одновременно с максимумом выручки, поскольку здесь прибыль равна разности переменной выручки и постоянной величины затрат на ресурсы. Поэтому функция выручки (1) является в данном случае целевой функцией производителя.

Изокванта целевой функции производителя есть множество наборов продуктов одинаковой стоимости. В линейной модели производства изокванта изображается отрезком прямой, наклон которого к осям ординат определяется отношением цен продуктов.

В своем стремлении максимизировать выручку производитель двух продуктов, как и производитель одного продукта, сталкивается с определенными ограничениями. Если в случае одного продукта ограничителем служила величина бюджета производителя, то в случае двух продуктов каждый используемый ресурс дает свое ограничение, связанно с ограниченностью запаса ресурса.

Получим первое ограничение. Расход ресурса М при производстве всего количества продукта равен а11х, а его расход при производств всего количества продукта У равен а12у. Поскольку суммарный расход не может превосходить запаса ресурса, первое ограничение запишется следующим образом:

(2)

Аналогично второе ограничение, отвечающее ресурсу N , запишется как:

(3)

Планом производства называют пару выпусков продуктов (х; у), которая удовлетворяет обоим ограничениям (5.2 и 5.3).

Равновесный (оптимальный) план производства есть такой план, который максимизирует функцию выручки (1) при заданных двух ограничениях. С формальной точки зрения нахождение равновесного плана производства состоит в максимизации линейной функции выручки при линейных ограничениях. Эта задача линейного программирования для случая двух продуктов имеет достаточно простой и наглядный геометрический метод решения.