14. Эластичность
Предельное значение функции (производная) характеризует чувствительность функции к изменению показателя — аргумента. Однако данная характеристика имеет существенный недостаток. Дело в том, что в экономике показатели обычно измеряются в некоторых единицах, а потому предельные значения функций также имеют размерность, причем различную в разных случаях.
Если, например, исследуется зависимость объема продаж фирмы, выраженного в тоннах от цены товара в рублях, то соответствующее предельное значение будет измеряться в единицах товара, деленных на денежную единицу (т/руб.). Указанный недостаток не позволяет сравнить между собой предельные значения, выраженные в различных единицах измерения. Это существенно ограничивает применимость методов экономического анализа, использующих производную в качестве измерителя чувствительности функции к изменению аргумента. Поэтому экономисты используют специфический показатель — эластичность.Эластичность характеризует чувствительность функции к изменению аргумента. Эластичность функции равна отношению относительного (процентного) изменения функции к относительному (процентному) изменению аргумента (имеется в виду, что указанное изменение функции вызвано соответствующим изменением аргумента), а потому является безразмерным показателем.
Как мы видим, определение эластичности получено из определения производной путем замены абсолютных приростов показателей на их относительные приросты. В итоге показатель эластичности оказывается безразмерной величиной:
.
Пример 12. Аргумент функции увеличился на 3%, в результате чего значение функции увеличилась на 6%. Тогда эластичность функции равна 6:3 = 2.
Рассмотрим вопрос о взаимосвязи производной функции и ее эластичности. Обозначим эластичность Е, абсолютное изменение аргумента через ∆х, а вызванный им абсолютный прирост функции через ∆у.
Тогда эластичность запишется следующим образом:
. (4)
Если изменение аргумента мало, то отношение приростов функции и аргумента равно производной функции, и формула (4) примет
вид:
. (5)
Таким образом, эластичность определяется умножением производной функции на отношение аргумента к функции. Отсюда следует ряд свойств эластичности:
• поскольку в экономической теории исследуется эластичность положительных функций, зависящих от положительного аргумента, то эластичность имеет тот же знак, что и производная. У возрастающей функции оба эти показателя положительны, а у убывающей функции — отрицательны;
• если производная функции равна нулю, то и эластичность равна нулю. В частности, эластичность постоянной функции равна нулю;
• эластичность линейной функции не является постоянной величиной, в отличие от ее производной;
• эластичность функции «обратная пропорциональность» (
, где а — константа) равна единице для любого аргумента.
Экономическая сущность показателя эластичности заключается в следующем: он показывает, насколько изменится в процентном отношении значение функции при изменении аргумента на один процент. Если изменение аргумента на один процент порождает большее процентное изменение функции, то такая функция является чувствительной к изменению аргумента, или эластичной. Функция называется эластичной, если эластичность по модулю больше единицы; неэластичной — если эластичность по модулю меньше единицы; абсолютно эластичной, если эластичность равна бесконечности; абсолютно неэластичной, если эластичность равна нулю. Не имеет специального названия функция, у которой эластичность по модулю равна единице.
Указанные выше свойства функции относятся к определенному значению ее аргумента.
Для одного значения аргумента функция может быть эластичной, а для другого — неэластичной.Как вычислить эластичность в случае, когда известны два значения функции у1и у2, соответствующиё двум значениям аргумента х1, и х2? Есть три способа расчета эластичности.
1. Первое значение аргумента принято в качестве начального. Тогда эластичность функции при значении аргумента х, вычисляется по формуле:
.
1. Второе значение аргумента принято в качестве начального. Тогда эластичность функции при значении аргументах2 вычисляется аналогично предыдущему случаю, но в приведенной формуле следует поменять местами индексы.
3. Оба значения аргумента и оба значения функции учитываются при расчетах симметричным образом. Здесь коэффициент эластичности относится не к конкретному значению аргумента функции, а ко всему участку ее графика, отвечающему промежутку изменения аргумента от х1 до х2 . Эластичность рассчитывается по формуле дуговой эластичности:
. (6)
Свойство симметричности формулы дуговой эластичности выражается в том, что она позволяет мёнять местами индексы, сохраняя результат вычислений неизменным.