<<
>>

3.2. Оценивание коэффициентов модели

После того как произведена идентификация (стационарной) модели ARMA, т.е. на основании имеющихся наблюдений принято решение о значениях p, q в модели ARMA(p, q), порождающей данные, переходят к этапу оценивания коэффициентов модели.
На этом этапе обычно используется метод максимального правдоподобия, который в конечном счете сводится к методу наименьших квадратов. За исключением некоторых наиболее простых случаев (например, модели AR(1)), эта задача решается итерационными методами, требующими задания некоторых "начальных" ("стартовых") значений параметров, которые затем последовательно уточняются.

В качестве таких начальных значений можно использовать предварительные оценки, полученные на первом этапе. Такие начальные значения можно найти, приравнивая неизвестные "истинные" значения автокорреляций р(к) значениям r(k) выборочной автокорреляционной функции и используя функциональную связь между значениями р(к) и значениями коэффициентов модели. Например, если оценивается модель AR(p), то коэффициенты a1, ..., ap определяются из системы первых p

уравнений Юла - Уокера

p

р(к) = Ja;P(k - j'X к = p ,

j=1

в которые вместо неизвестных значений р(1), .., р(р) автокорреляций подставляются наблюдаемые (вычисляемые по реализации ряда) значения r(1), ..., r(p) выборочных автокорреляций.

При оценивании моделей с MA(q) составляющей (q > 0) существенным оказывается условие обратимости, сформулированное в разд. 2.5. Покажем это на примере MA(1) модели

Xt - / = st + bet-1 , t = 1, ... , T . Имея наблюдаемые значения x1, x2, ... , xT , мы последовательно выражаем s1, s2, ... , sT через эти значения и (ненаблюдаемое) значение ?0 :

?1 = X1 - / - bs0 ,

S2 = X2 - / - bs1 = X2 - / - b(X1 - / - b?0) = (X2 - /) - b(X1 - /) + b2 ?0,

sT = XT - / - bsT _ 1 = (XT - /) - b(XT _ 1- /) + b2(XT _ 2- /) - +(-1)T - 1 b T - 1 (X1 - /) + (-1)T b T ?0 .

Максимизация (по b) условной функции правдоподобия, соответствующей наблюдаемым значениям x1, x2, . , xT при фиксированном значении s0 , равносильна минимизации суммы квадратов

Q(b) = ?12 + ?22 + . + ?т2 , которая является нелинейной функцией от b . Для поиска минимума этой суммы квадратов приходится использовать численные итерационные методы оптимизации, которые, в свою очередь, требуют задания начального ("стартового") значения параметра b . Как мы уже говорили, такое стартовое значение может быть получено на этапе идентификации модели. Однако полученное в итоге итераций "оптимальное" значение b зависит от неизвестного нам значения ?0 , что затрудняет интерпретацию результатов. Задача интерпретации облегчается, если выполнено условие обратимости | b | < 1, и при этом значение | b | существенно меньше 1.

Действительно, при выполнении этого условия можно просто положить ?0 = 0 . Эффект от такой замены истинного значения s0 на нулевое быстро убывает, так что сумма квадратов, получаемая в предположении ?0 = 0, может служить хорошей аппроксимацией для суммы, получаемой при истинном значении ?0 , при достаточно большом количестве наблюдений. Те же аргументы пригодны и для модели MA(q) с q > 1 : в этом случае можно положить s0 = s-1 = ... = є_ +1 = 0 . Для получения более

точной аппроксимации, в пакетах статистических программ (в том числе и в EVIEWS) предусмотрена процедура (backcasting) , в которой процесс итераций включает в себя также и оценивание значений s0 , s-1 , ... , є _ +1 путем построения для них "обратного прогноза".

Если в результате оценивания получена модель, в которой условие обратимости не выполняется, рекомендуется повторить процедуру оценивания с использованием другого набора начальных значений.

Более подробное изложение процедур оценивания стационарных ARMA моделей методом максимального правдоподобия можно найти, например, в книге [Hamilton (1 994)]. Там же можно прочитать о том, каким образом вычисляются приближения для стандартных ошибок оценок коэффициентов этих моделей, которые можно использовать при большом количестве наблюдений обычным образом.

В заключение необходимо только сделать одно важное замечание.

Пусть мы имеем стационарную AR(p) модель а(Ц) Xt = S + st .

Мы уже говорили о том, что в этом случае математическое ожидание / процесса Xt связано с константой ё соотношением

s

/ = -

(1 - a1 - a2 - ...

- ap )

и ё , применяя

ap

При этом можно сначала оценить коэффициенты a1, . обычный метод наименьших квадратов к модели

Xt = ё + a1 Xt-1 + a2 X-2 + . + ap X-p + ?t , а затем, используя полученные оценки aa1, ... , aap и S, получить оценку для / в

виде

8

I = ;—; ;— .

(1 - a1 - a2 - ... - ap )

Однако можно поступить и иначе, как это предусмотрено, например, в пакете EVIEWS (Econometric Views), используемом нами в последующих примерах. Именно, мы можем записать ту же модель в виде

Xt = I (1 - a1 - a2 - ap) + a1 Xt-1 + a2 X-2 + . + ap X-p + ?t

и одновременно оценивать и a1, ... , ap и /. Такая процедура теоретически более эффективна. Однако в такой форме модель оказывается нелинейной по параметрам, и это обстоятельство, как и при оценивании MA моделей, требует применения нелинейного метода наименьших квадратов (NLLS - nonlinear least squares) и численных итерационных методов оптимизации.

Пример

Рассмотрим данные о годовом потреблении рыбных продуктов в США (на душу населения, в фунтах). 946 0.8 956 0.4 947 0.3 957 0.2 948 1.1 958 0.6 949 0.9 959 0.9 950 1.8 960 0.3 951 1.2 961 0.7 952 1.2 962 0.6 953 11.4 963 0.7 954 1.2 964 0.5

955 0.5 965 0.9 График этого ряда:

Коррелограмма, построенная по этим данным, имеет вид

KTNX|

Коррелограмма, построенная по этим данным, имеет вид

on Autocorrelati Partial Correlation C PAC Q-Stat Prob .429 .429 0

.2694 4 .039 .366 .222 0

.5350 7 .023 . I . .059 0.204 .6255 7 .054 . I . . | . .016 0.034 .6324 7 .106 *| ¦ *| . 0.156 0.129 .3498 8 .138 0.255 0.195 0.393 1 .109 *| . 0.321 0.123 3.879 1 .053 . *| . _ 0.133 _.175 0

_4.523 1 ^069 Ориентируясь на указанные ранее приближенные критерии, прежде всего найдем значение 2/VT = 2/V20 = 0.447.

Из полосы ± 0.447 не выходит ни одна из выборочных автокорреляций и частных автокорреляций. Поэтому с точки зрения этих критериев, мы не должны отвергать гипотезу о том, что наблюдаемый ряд порождается моделью MA(0)

X0 = р + ?t.

С другой стороны, если ориентироваться на критерий Люнга - Бокса, то пик ACF на лаге 1 является статистически значимым. Это означает, что в качестве потенциальных моделей порождения данных можно предварительно рассматривать модели AR(1) и MA(1). Таким образом, мы сталкиваемся здесь с конфликтной ситуацией: статистические выводы, получаемые при использовании разных критериев, не соответствуют друг другу.

Подобная ситуация не является чем-то исключительным и достаточно часто встречается при идентификации модели, порождающей наблюдаемый ряд, тем более, что используемые критерии - асимптотические, тогда как обычно в распоряжении исследователя имеется не слишком большое количество наблюдений.

Подобная ситуация не является чем-то исключительным и достаточно часто встречается при идентификации модели, порождающей наблюдаемый ряд, тем более, что используемые критерии - асимптотические, тогда как обычно в распоряжении исследователя имеется не слишком большое количество наблюдений.

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

Последнее обстоятельство связано в значительной степени с тем, что для многих экономических рядов периоды, на которых порождающая ряд модель может считаться стационарной, обычно непродолжительны из-за изменения общей экономической обстановки, в которой эволюционирует рассматриваемый ряд. Это соображение можно легко проиллюстрировать на примере того же самого ряда данных о потреблении рыбных продуктов в США, если привлечь дополнительно статистические данные за период с 1940 по 1945 годы (годы Второй мировой войны). Эволюция ряда на расширенном периоде с 1940 по 1965 годы представлена следующим графиком: 12 -

11 - 10 - 987-

EIX

Провал траектории ряда в 1942 - 1944 г.г. не позволяет трактовать этот ряд как стационарный на всем периоде с 1 940 по 1 965 годы. Поэтому мы продолжаем далее рассматривать значения ряда только на послевоенном периоде - с 1 946 по 1 965 г. г.

Если остановиться на модели AR(1), то для нее, как мы знаем, р(1) = a1. Поэтому приравнивая неизвестное значение р(1) значению r(1) = 0.429, мы получаем предварительную оценку для неизвестного значения a1. В то же время, производя непосредственное оценивание модели AR(1) с ненулевым математическим ожиданием нелинейным методом наименьших квадратов, получаем следующие результаты. Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947 1965 Included observations: 19 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable Coef Std. t- Pro Error Statistic b. C 10.8 0.159 67.90 0.0 1451 261 445 000 AR(1) 0.43 0.219 1.963 0.0 0515 257 522 662 R-squared 0.18 Mean dependent 10. 4864 var 81053 Adjusted R- 0.13 S.D. dependent 0.4 squared 6915 var 25434 S.E. of 0.39 Akaike info 1.0 regression 5238 criterion 80645 Sum squared 2.65 Schwarz criterion 1.1 resid 5627 80060 В данной ситуации уточненная оценка практически совпадает с предварительной оценкой для a1 .

Если же остановиться на модели MA(1), то в такой модели р(1) = b1/(1 + b12). Приравнивание неизвестного значения р(1) значению r(1) = 0.429 приводит к уравнению b1/(1 + b12) = 0.429. Корни последнего уравнения равны 0.567 и 1.704.

Первый корень соответствует обратимой MA(1) модели; второй корень соответствует необратимой MA(1) модели. Уточненное оценивание MA(1) модели с использованием обратного прогноза (backcasting) дает следующие результаты. Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample: 1946 1965 Included observations: 20 Convergence achieved after 13 iterations Backcast: 1945 Variable Coef Std. t- Pro Error Statistic b. C 10.8 0.113 95.39 0.0 1379 355 726 000 MA(1) 0.28 0.228 1.230 0.2 0610 102 195 345 R-squared 0.11 Mean dependent 10. 7961 var 81000 Adjusted R- 0.06 S.D. dependent 0.4 squared 8959 var 14094 S.E. of 0.39 Akaike info 1.0 regression 9561 criterion 97739 Sum squared 2.87 Schwarz criterion 1.1 resid 3684 97313 Log likelihood - F-statistic 2.4 8.977395 07257 Durbin-Watson 1.78 Prob(F-statistic) 0.1 stat 9895 38178 В этом случае уточненное значение коэффицента b1 существенно отличается от предварительной оценки этого коэффициента. Отметим также большое отличие P- значений для t- и F-статистик в отношении значимости коэффициента b1 . Это можно объяснить тем, что величина стандартной ошибки вычисляется согласно асимптотической процедуре, тогда как в нашем распоряжении имеется всего лишь 20 наблюдений.

Если не производить обратного прогнозирования значения инновации для 1945 года, то результаты получаются близкими: Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample: 1946 1965 Included observations: 20 Convergence achieved after 24 iterations Backcast: OFF Variable ficient Coef Error Std. t-

Statistic b. Pro C 10.8 0.112 96.06 0.0 1515 582 431 000 MA(1) 0.27 0.229 1.195 0.2 4024 231 405 474 R-squared 0.11 Mean dependent 10.

6800 var 81000

Adjusted R- 0.06 S.D. dependent 0.4

squared 7734 var 14094

S.E. of 0.39 Akaike info 1.0

regression 9824 criterion 99054

Sum squared 2.87 Schwarz criterion 1.1

resid 7464 98628

Log likelihood - F-statistic 2.3

8.990543 80443

Durbin-Watson 1.77 Prob(F-statistic) 0.1

stat 8286 40261

<< | >>
Источник: В.П.Носко. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. 2002

Еще по теме 3.2. Оценивание коэффициентов модели:

  1. Подбор стационарной модели ARMA для ряда наблюдений
  2. 3.1. Идентификация стационарной модели ARMA
  3. 3.2. Оценивание коэффициентов модели
  4. 3.3. Диагностика оцененной модели
  5. 4.2. Динамические модели
  6. 4.4. Некоторые частные случаи динамических моделей
  7. 7.2. Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок
  8. 7.4. Оценивание коинтегрированных систем временных рядов
  9. 8.2. Оценивание модели коррекции ошибок
  10. 7 ММП-оценивание в моделях временных рядов
  11. Статистический банк
  12. 10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА
- Антимонопольное право - Бюджетна система України - Бюджетная система РФ - ВЭД РФ - Господарче право України - Государственное регулирование экономики России - Державне регулювання економіки в Україні - ЗЕД України - Инвестиции - Инновации - Инфляция - Информатика для экономистов - История экономики - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Логистика - Макроэкономика - Математические методы в экономике - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоги и налогообложение - Организация производства - Основы экономики - Отраслевая экономика - Политическая экономия - Региональная экономика России - Стандартизация и управление качеством продукции - Страховая деятельность - Теория управления экономическими системами - Товароведение - Управление инновациями - Философия экономики - Ценообразование - Эконометрика - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятий - Экономика природопользования - Экономика регионов - Экономика труда - Экономическая география - Экономическая история - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ -