<<
>>

2.6.2.4 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АКТИВАМИ

В общем виде такая задача может быть сформулирована следующим образом:

пусть P = f (x) - один критериев качества работы банка;

x е X ;

x = (x1,x2,...,xn) - вектор варьируемых параметров - вложений банка в различные активы, приносящие доходы;

X = {xg (x) > 0, j = 1,m} - допустимое замкнутое множество варьируемых параметров;

f- некоторая функция x .

В общем случае размерность вектора x достаточно велика и соответствует количеству активных счетов, отражающих размещение средств, разделов 2 - 6 «Правил ведения бухгалтерского учета в кредитных организациях, расположенных на территории Российской Федерации».

Однако, в реальности каждый банк имеет свои приоритеты и традиционные направления вложения свободных ресурсов, поэтому для практических целей размерность вектора x обычно не превосходит 15 - 20, а чаще всего

для небольшого банка - 5 - 7.

(37)

f (x 0) = opt f (x)

Тогда задача оптимизации сводится к определению вектора оптимальных параметров x0 е Хтакого, что

В зависимости от конкретной ситуации в банке и целевых задач его руководства в качестве оптимизируемой функции могут использоваться:

норматив мгновенной ликвидности - Н2;

норматив текущей ликвидности - Н3;

норматив долгосрочной ликвидности - Н4;

норматив общей ликвидности - Н5;

норматив ликвидности по операциям с драгоценными металлами - Н14;

критерий Кромонова - N;

критерии доходности - R1, R2, R3.

Задача (37) для нормативов Н2, Н3, Н5, Н14 будет иметь вид maxНJ(x); J = 2,3,5,14; при наличии ограничени й

(38)

^ xt = S ;i = 1, n;

i

НК(x0) >НКтп;К = 1,2,3,5,14; К ф J; Н4 (x 0) < 120%; R3(x0) > r, где S - сумма свободных ресурсов банка на начало операционного дня (определяется экспертами); HKmin - минимально допустимое значение норматива НК; r - минимально допустимое значение R3. Для норматива Н4 задача (37) записывается следующим образом

min Н4(Г);

x при наличии ограничени й

(39)

^ xi = S; i = 1, n;

i

Для критерия Кромонова задача (37) будет иметь вид

НК (x0) > НК тт;К = 1,2,3,5,14; R3(x0) > r,

max N (x);

при наличии ограничени й

(40)

^ xt = S; i = 1, n;

i

НК (x0) > НК тп;К = 1,2,3,5,14; Н4 (x0) < 120%; R3(x0) > r, Для критериев доходности задача (37) записывается в виде

maxRJ (x); J = 1 v 2 v 3; при наличии ограничени й

^x,. = S; i = \n; \ (41)

i

НК (x0) > НК mm;К = 1,2,3,5,14; Н4 (x0) < 120%.

Решение задач (38 - 41) позволяет максимизировать (минимизировать) один из критериев качества работы банка, при этом значения других критериев должны быть не хуже их допустимых величин. Однако, на практике вполне объяснимо возникает потребность одновременно оптимизировать все критерии, для чего требуется решить так называемую задачу векторной оптимизации, которая может быть сформулирована следующим образом: пусть задано L критериев качества работы банка

P. = f. (x), i = 1L, x e X,

где x = (x1,x2,...,xn) - вектор варьируемых параметров-вложений банка в различные активы, приносящие доходы; X = {xg(x) > 0,j = 1, m} - допустимое замкнутое множество варьируемых параметров; ft - некоторая функция x .

Тогда задача оптимизации сводится к определению вектора оптимальных параметров (вложений банка в различные активы, приносящие доходы) x e Х такого, что

(42)

P, (x0) = opt Pt (x); i = 1, L.

Задача (42) является задачей оптимизации по векторному критерию P = (P1,P2,...,PL), для которой характерна неопределенность целей, т.е.

невозможность в большинстве случаев одновременно максимизировать (минимизировать) все компоненты векторного критерия. Неопределенность целей требует привлечения дополнительных гипотез для того, чтобы однозначно сформулировать приоритеты. Поэтому при решении указанных задач неформальные методы, представления здравого смысла играют не меньшую роль, чем формальный математический аппарат.

В связи с этим решение задачи (42) целесообразно проводить в два этапа:

Построение множества Парето (формальный этап).

Выбор оптимального решения на множестве Парето (неформальный этап).

Понятие Парето-оптимальности является ключевым в теории многокритериальной оптимизации. Оно тесно связано с понятием доминирования. Пусть P1, P2 - критериальные векторы (векторы критериев). Вектор P1 доминирует вектор P2 тогда и только тогда, когда никакой компонент вектора P1 не меньше соответствующего компонента P2 и по крайней мере один компонент P1 больше соответствующего компонента P2. В то время как понятия доминируемости относятся к векторам в пространстве критериев, понятие Парето-оптимальности (синонимы: эффективность, неулучшаемость) относятся к точкам из пространства решений (т.е. исходных переменных). Точка x0 Парето-оптимальна тогда, и только тогда, когда критериальный вектор, вычисленный в этой точке, не доминируется ни одним другим критериальным вектором. Множество всех Парето-оптимальных точек называется Парето-оптимальным множеством. Из этого определения понятен смысл предварительного выделения Парето-оптимального подмножества из множества допустимых решений - данная процедура отсекает заведомо неэффективные точки.

Второй этап решения задачи векторной оптимизации обычно осуществляется с помощью экспертных оценок специалистов банка.

Задача (42) для нормативов ликвидности Н2, Н3, Н4, Н5, Н14 будет иметь вид:

Н J(x0) - opt Н J(x); J = 2,3,4,5,14; или НJ(x0) - max НJ(x); J = 2,3,5,14;

(43)

Н J (x0) = min Н4(Г);

при наличии ограничени й

Zxi = S; i = 1N;

i

R3(x0) >r; rn(x0) > Н1тп. Нетрудно заметить, что числители нормативов Н3 и Н5 совпадают, а знаменатели на начало операционного дня не зависят от x , т.е. нормативы Н3 и Н5 достигают максимума в одной точке, что позволяет один из них исключить из задачи (43), которая в этом случае будет иметь вид:

Н J (x0) = тахН J (x); J = 2,3,14;' Н 4(x 0) = minB4(x);

x

(44)

Z xt- = S; i = 1, n;

i

R3(x0) > r; m(x0) > Н1min. В современных экономических условиях структура кредитного портфеля большинства Российских банков характеризуется подавляющим преобладанием краткосрочных (на срок менее одного года) вложений, что позволяет исключить из рассмотрения норматив Н4.

Тогда задачу (44) можно записать следующим образом (45)

НJ(x0) = шахНJ(x); J = 2,3,14; Z xi = S ;i = 1, n; R3(x0) > r; m(x0) > Н1Шп.

Если банк не имеет лицензии на операции с драгоценными металлами, что характерно для большинства отечественных кредитных организаций, то из задачи (45) исключается норматив Н14, и она преобразуется к виду: НJ(x0) = maxНJ(x); J = 2,3;

x

X X, = S; i = 1, n;

i

R3(x0) > r; m(x0) > Н1 min•

Задача (42) для нормативов ликвидности Н2, Н3 и критерия доходности R3 будет иметь вид:

НJ(x0) = maxНJ(x); J = 2,3;

x

R3 (x0) = max R3 (x);

(47)

x

X xi =S;1=1 n;

i

Н1(^0) > Н1 min•

Для критериев доходности R3 и надежности по Кромонову N (x) задача (42) записывается следующим образом:

R3(x0) = max R3(x);

x

N (x0) = max N (x);

x

(48)

X xi = S ;i = 1, n;

i

Н J (x0) > Н J min; J = 1,2,3,5,14; Н4 (x"0) < 120 %. 2.6.2.5 АЛГОРИТМЫ СКАЛЯРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Для применения различных методик оптимизации структуры активов была построена модель в программной среде Excel 7.0.

Задача скалярной оптимизации решалась в программной среде Excel 7.0 средствами модуля Solver.xla.

Необходимо подробнее описать принципы его работы, так как в процессе оптимизации часто возникают разнообразные проблемы, могущие привести к неверному решению. Это достаточно мощное средство содержит эффективные алгоритмы линейной (симплекс-метод) и нелинейной (метод сопряженных градиентов и квазиньютоновский) оптимизаций. Пользователь может вручную выбирать время, отпускаемое на поиск решения задачи, максимальное количество итераций, точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам, допустимое отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел, сходимость (когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле сходимость, поиск прекращается), метод экстраполяции для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске (линейная, квадратичная), метод численного дифференцирования, который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций (прямые, центральные), алгоритм оптимизации (метод Ньютона или сопряженных градиентов для указания направление поиска). Для правильного выбора данных параметров с целью сознательного контроля за решением задачи оптимизации необходимо представлять себе схему решения задач скалярной оптимизации.

Чтобы найти оптимум (для определенности - максимум) критерия F(X), нужно выбрать последовательность точек Хi (i = 1, ... , n), для которых будут выполнены условия:

FX) < F(X2) < ... < F(X) < F(Xn). (49)

Как только в этой последовательности появится вектор Xn + ь такой, что F(Xn) > F(Xn + i), это будет означать, что при Xn < X < Xn + 1, функция F(A ) достигает максимума. Способ нахождения последовательности Х1, Х2, ... Xn определяет стратегию поиска. В Excel реализована одна из стратегий, относящаяся к группе методов, именуемых градиентными (метод сопряженных градиентов). В этих стратегиях точкиXi вычисляют по формуле:

X, + 1 = X, + aP, (50)

где ai - скаляр, определяющий длину шага вдоль этого направления (при поиске минимума в формуле - минус); Рi - вектор, задающий направление поиска.

Для определения вектора Рi используется понятие градиента. Градиент F'(X) скалярной функции векторного аргумента F(X) в точке X, - вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции и ортогональной поверхности уровня [поверхности постоянного значения функции F(X)], проходящей через точку Х^. Выражение (52) можно записать в координатной форме:

xji + 1 = xji + aiGj(Xi); j = 1, 2, к, (51)

где Gj - j-я компонента вектора градиента. Графическая интерпретация градиентного метода представлена на рис. 1.

Поскольку явный вид функции F^ неизвестен, вычислительный процесс градиентного поиска строят следующим образом. Произвольно выбирают начальную точку Х1 и в этой точке вычисляют значение функции F^). Всем компонентам вектораХ1 дают малые приращения Dxj (j = 1, 2, ..., к) и формируют вектор Х2 = Х1 + DX. Затем выполняют пробный шаг, т.е.? вычисляют значение функции F(X2). Если компоненты вектора градиента:

F(Xj) < F(X2), то пробный шаг признается удачным и вычисляются

= F(X2) -F(X 1); . = 2,..., к . (52)

Axj

Если F(X1) > F(X2), то пробный шаг неудачен. Поэтому знаки всех приращений Dxj меняются на противоположные, меняется и направление вектора градиента. Найдя нужное направление, выбирают величину шага a, и продолжают процесс, выстраивая последовательность векторов {X}, удовлетворяющую условию (49).

Проблема выбора шага - важнейшая во всей процедуре. Именно способом выбора шага отличаются друг от друга различные градиентные методы. Дело в том, что при малом шаге поиск будет почти наверняка успешным, т.е. сходящимся к искомому оптимуму, но потребует много времени на вычисления. Большой шаг, экономя время, не гарантирует сходимости, поскольку оптимум можно «проскочить». Наконец, бывают ситуации, когда процесс поиска зацикливается. Пусть нужно найти минимум функции F(x) = bx2, где b - положительное число. Для этой функции формула (50) имеет вид:

Хк+1 = (1 - 2akb)xk . (53)

-3-2-10123 А

Рис. 1 Градиентный метод оптимизации При определенных обстоятельствах возможна следующая ситуация: x1 = -x0; x2 = x0; x3 = -x0 ..., т.е. вычислительный процесс зацикливается (рис. 2).

При использовании градиентных методов помимо несходимости и зацикливания имеется еще одна проблема (рис. 3). Если искать оптимум функции F(x) градиентным методом и выбрать стартовую точку в интервале [xmin, x0], то поиск приведет нас в вершину, обозначенную как max.

найденная ' 1

F(x)

Рис. 2 Проблема зацикливания алгоритма оптимизации

Рис. 3 Проблема подмены глобального оптимума локальным Однако из графика видно, что оптимальная точка есть правая граница интервала, которую в такой ситуации называют глобальным (или истинным) оптимумом, в то время как найденная вершина - локальный оптимум. При поиске оптимума на многомерных поверхностях со сложной топологией всегда существует опасность «застрять» на локальном оптимуме и никогда не добраться до глобального. Способ избежать этого состоит в повторении поиска из различных стартовых точек. Если при повторах найденная точка оптимума и значение функции в ней сохранятся, можно с большой вероятностью считать, что найден глобальный оптимум.

Следует заметить, что, несмотря на относительную простоту используемых в финансовой модели функций, в ходе вычислений возникли проблемы с критерием останова, которые были решены уменьшением параметра в диалоговом окне «сходимость» до 0,000000005.

<< | >>
Источник: В. В. Тен, Б. И. Герасимов. Экономические основы стабильности банковской системы России. 2001

Еще по теме 2.6.2.4 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АКТИВАМИ:

  1. 2.6.2 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АКТИВАМИ БАНКА
  2. 2.6.2.4 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АКТИВАМИ
  3. 2.6.2.7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АКТИВАМИ
  4. Постановка задач.
  5. 2.2. Постановка задачи и обсуждение модели
  6. Постановка задачи.
  7. Тема 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАРКЕТИНГОВОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  8. РАЗДЕЛ 1СУТЬ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОРПОРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
  9. Принципы и задачи системы управления рисками
  10. 1.6. Общая постановка задачи управления финансовыми ресурсами банка
  11. 2.2.2. Общая постановка задачи долгосрочного планирования
  12. 3.2.4. Постановка задачи долгосрочного планирования
  13. 3.3.3. Постановка задачи формирования среднесрочных (оперативных) планов
  14. 3.4.3. Постановка задачи формирования текущих планов
  15. Постановки задачи максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды по цене cg