Характеристическая функция игры

Теорию кооперативных игр интересует в основном то, какие коалиции образуются в процессе игры и какие условия необходимы для устойчивого существования коалиций.
Игра в нормальной форме, как достаточно подробное описание конфликтной ситуации, оказалась слишком сложной моделью для исследования кооперативных взаимодействий игроков. Чтобы описать с помощью игры в нормальной форме даже самый простой переговорный процесс между игроками, требуется немыслимое усложнение множества их стратегий, включающее в себя как элементы, соответствующие передаче информации другим игрокам, так и элементы, описывающие реакцию на их сообщения. Основная идея теории кооперативных игр состоит в том, чтобы, не рассматривая переговорный процесс как таковой, анализировать возможные его исходы и делать выводы о реализуемости того или иного результата переговоров. Поэтому и элементами описания игры в форме характеристической функции - базовой модели теории кооперативных игр - являются не стратегии игроков, а выигрыши, которые может себе гарантировать та или иная коалиция.
Игра в форме характеристической функции может быть построена на основе игры в нормальной форме. Так обычно и приходится делать, потому что реальные конфликты обычно формулируются сперва в нормальной форме - перечислением множества игроков, их стратегий и функций выигрыша. Характе-ристическая функция определяет выигрыш, получаемый коалицией S (если в процессе игры такая коалиция образовалась) при
рациональных действиях ее участников [70]. Решение о том, что понимать в каждом конкретном случае под рациональными действиями игроков, принимается из анализа игры в нормальной форме и выбранной модели рационального поведения.
Базовая модель кооперативной игры разрешает передачу выигрыша между игроками, а это значит, что предполагается наличие линейно-трансферабельного товара [72], например, денег. Это предположение типично для экономических моделей, к которым относятся и модели управления ОС.
Характеристической функцией игры п лиц называется такая вещественнозначная функция v(S), определенная на подмножествах S с 7V множества игроков N, что v(0) = 0 [67]. Характеристическая функция называется супераддитивной, если (1) MS,T = 0 v(S) + V(T)то есть для любых непересекающихся коалиций их объединение может получить полезность не меньшую, чем эти коалиции могли бы в сумме получить, действуя по отдельности [67]. В этих условиях объединение в коалицию, включающую всех игроков, представляет собой самое эффективное с точки зрения суммарной полезности поведение участников игры, однако устойчивость этой коалиции требует дополнительного исследования (см. ниже).
Супераддитивные игры представляют собой в некотором смысле типичный случай. Действительно, пусть имеются коалиции S и 7 с их выигрышами v(.V) и v(7). Что мешает образующейся коалиции S U Т действовать так, как если бы такого объединения не существовало? Тогда полезность этой коалиции будет как минимум равна сумме полезностей коалиций S и Т, обеспечивая супераддитивность.
Эти нестрогие рассуждения, как показано ниже, верны лишь при некоторых предположениях.
Классическая теория [54, 67] рассматривает в основном супераддитивные игры. Главные вопросы, которые встают при их исследовании - это вопросы об условиях реализуемости максимальной коалиции N и справедливом распределении выигрыша v(N) между игроками.
Обычно игровые задачи, в том числе и задачи управления ОС, ставятся в нормальной форме. Для исследования коалицион-
ного взаимодействия игру необходимо перевести в форму характеристической функции. При этом процедура перехода существенно зависит от используемого принципа рационального поведения игроков.
Для классической постановки задачи теории кооперативных игр характерно отсутствие информированности членов коалиции о стратегиях игроков, не входящих в коалицию и о структуре других образовавшихся коалиций. В этих условиях осторожные игроки должны использовать принцип максимального гарантированного результата (МГР) для оценки выигрыша коалиции, к которой они собираются присоединиться. Применение принципа МГР для некоторой коалиции S состоит в минимизации выигрыша коалиции по стратегиям игроков, не входящих в коалицию S, и, затем, в максимизации выигрыша по стратегии коалиции S.
Под стратегией коалиции понимается вектор стратегий ее участников, а под выигрышем коалиции - сумма их выигрышей. Характеристическая функция определяется выражением (2) v(S) = max min E/JOWms)],
ys^AS yN\SGAN\S iGS
где = (.уДея e = ДД - вектор действий участников
i<=S
коалиции S, afi(.) - их целевые функции.
В выражении (2) можно заменить чистые стратегии на смешанные. Тогда v(.V) будет в точности совпадать с нижним значением [54, 68] антагонистической игры двух лиц - коалиции S и коалиции N\S. Введенная таким образом характеристическая функция всегда супераддитивна [70].
Несмотря на удобство применения принципа МГР для построения характеристической функции, дополнительная информированность игроков может сделать более логичным использование других концепций равновесия. Обратим внимание на то, что переговорный процесс должен сопровождаться передачей игроками друг другу информации о своих функциях выигрыша, поскольку подобные данные могут оказывать существенное влияние на структуру коалиций. В связи с этим можно предположить, что к моменту окончательного выбора коалиции каждый игрок (а значит и любая коалиция) будет
обладать информацией о целевых функциях всех остальных игроков (а, значит, и всех возможных коалиций).
Тогда коалиция S должна ожидать от остальных игроков действий, направленных на максимизацию их функций полезности, а не действий, наихудших для коалиции S, как предписывает МГР.
<< | >>
Источник: Губко М.В.. Управление организационными системами с коалиционным взаимодействием участников. М.: ИПУ РАН (научное издание),2003. - 140 с.. 2003

Еще по теме Характеристическая функция игры:

  1. Описание игры в форме характеристической функции
  2. 3.3. Построение характеристической функции игры
  3.   § 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
  4.   § 10. ДЕЛЕЖИ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
  5.   § 2. АБСТРАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
  6.   § 8. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ИГРОКОВ
  7. § 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР 
  8.   § 5. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
  9.   § 4. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА ВСЕХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
  10.   § 26. ИГРЫ С РАЗРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫИГРЫША
  11. Рыночный риск ценной бумаги и характеристическая линия
  12. Взаимосвязь модели САРМ с линией рынка капитала и характеристической прямой
  13. Несущественные игры
  14.   § 12. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
  15. Значения игры
  16.   § 9. ДЕЛЕЖИ И КЛАССЙЧЕСКИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ