§ 34. МОДЕЛЬ БЛЭКА-СКОЛЕСА

а) Определение премии опционов на акции, не выплачивающие ди­виденды. Логнормальное распределение. Стандартное отклонение

В начале 70-х годов Ф. Блэк и М. Сколес разработали модель оценки премии европейских опционов колл и пут для акций, не выплачивающих дивиденды.

Блэк и Сколес вывели формулы, ос­новываясь на концепции формирования портфеля без риска. Они рассмотрели портфель из акций и опциона. При оценке премии опциона модель учитывает следующие параметры: цену акции, цену исполнения, ставку без риска, стандартное отклонение курса акций, время до истечения контракта. В то же время она не при­нимает во внимание ожидаемый доход на акции. Данный подход вытекает из принципа формирования портфеля нейтрального к риску. В такой ситуации ожидаемый доход на все бумаги является одинаковым и равняется ставке без риска. Именно она использу­ется для оценки дисконтированной стоимости будущих доходов.

Опционный контракт — это срочный контракт, поэтому вели­чина премии должна уловить поведение курса акции. В качестве вероятностного распределения цены акции в модели принято лог­нормальное распределение. Рассмотрим его более подробно.

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Изменение цены актива в будущем — это случайный процесс, который в принципе должен описываться нормальным распреде­лением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным распределением. Это обусловлено следующими причинами. Во- первых, нормальное распределение (рис. 63) является симметрич­
ной кривой относительно ее центральной оси и может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Однако, цена ак­тива, лежащего в основе опционного контракта, не может быть отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о равной вероятности для переменной пойти вверх или вниз. В то же время на практике, например, присутствует инфляция, которая оказывает давление на цены в сторону их повышения. В связи с этим в моделях определения цены опциона пользуются логнор­мальным распределением. Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность, то есть она указывает на большую вероятность цены пойти вверх (рис. 64). Поэтому, если, допустим, цена актива составляет 50 долл., то логнормальное распределение говорит, что опцион пут с ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл с ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии с нормальным распределением они должны были бы иметь одина­ковую цену.

Теоретические модели определения цены опциона, как и любые модели, устанавливают определенные условия, в рамках которых они функционируют, например, неизменными принимаются ставка без риска, стандартное отклонение и т.п. В то же время на практике данные величины подвержены изменениям. Кроме того, оценивая одни и те же активы, инвесторы, исходя из своих ожида­нии, оперируют цифрами, которые могут отличаться друг от друга. Поэтому на практике распределение цены актива определяется не точной формой логнормального распределения, а чаще принимает несколько отличную от него конфигурацию, которая имеет более заостренную вершину и более утолщенные концы, как это пред­ставлено на рис. 65. Однако данный факт не умаляет практической ценности моделей. Опытные трейдеры, зная отмеченные особен­ности, соответствующим образом корректируют значение цены опциона. Так, например, премия опциона с большим проигрышем на практике будет оцениваться инвестором несколько дороже, чем это предлагает модель, построенная на логнормальном распреде­лении.

СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Важным элементом, который присутствует в моделях оценки премии опционов, является стандартное отклонение. Поэтому ос­тановимся на этом вопросе несколько подробнее.

Вкладчика, инвестирующего свои средства в опционные контр­акты, интересует не только направление движения рынка, но и скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность


того, что стоимость актива перешагнет за цену исполнения опци­она. Показателем такой скорости выступает стандартное отклоне­ние цены актива или, как его еще именуют, волатильность. Стандартное отклонение говорит о вероятности цены принять то или иное значение. Оно задает Меру рассеянности цены актива. Большое значение стандартного отклонения свидетельствует о том, что цена актива может колебаться в широком диапазоне. Стандартное отклонение характеризует риск, связанный с данным активом. Чем больше величины отклонения, тем больше риск, и наоборот. Стандартное отклонение задается как процент отклоне­ния цены актива от ее средней величины в расчете на год. Напри­мер, если цена актива составляет 100 долл., а стандартное отклонение равно 10%, то это означает, что через год цена его может лежать в пределах от 90 долл. до 11О долл. (100± 10%) в б8,3% случаев, от 80 долл. до 120 долл. (100±2х10%) в 95,4% случаях и от

70 долл. до 130 долл. (100±3х10%) в 99,7 случаях. Поскольку цена актива через год представляет собой результат действия рыночных сил, то она может и выйти за указанные пределы, однако в соот­ветствии с кривой нормального распределения 99,7% всех вероят­ных исходов лежат в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения показателя, 95,4% — в пределах двух стандар­тных отклонений и 68,3% — одного стандартного отклонения (см. рис. 66).

Чтобы получить стандартное отклонение за период меньше года, необходимо стандартное отклонение в расчете на год разде­лить на квадратный корень из числа данных торговых периодов в году.

Пример. Стандартное отклонение бумаги равно 10% в год. Не­обходимо определить стандартное отклонение в расчете на день.

В году насчитывается порядка 252 торговых дней. Поэтому стан­дартное отклонение за один день равно:

Если цена составляет 100 долл., то одно стандартное отклонение цены за день составит:


100x0,0063 = 0,63 долл.

На практике для расчета стандартного отклонения берут значе­ния котировочной цены. Западные аналитические компании, пре­доставляющие информацию о стандартном отклонении, рассчитывают его обычно на основе ежедневных значений коти­ровочной цены.

Формируя свои стратегии, инвестор пытается предугадать буду­щее значение стандартного отклонения. В этом вопросе он ориен­тируется в первую очередь на фактические значения стандартного отклонения за истекший период времени, как минимум за послед­ний год. Помимо общего стандартного отклонения за год его интересует стандартное отклонение и за более короткие периоды. Если он планирует заключить опционный контракт на небольшой срок, то для него важна также информация о стандартном откло­нении за последний короткий период. Например, стандартное отклонение актива за год составило в среднем 20%, а за последний месяц 10%. Если инвестор планирует купить (продать) опцион на длительный период, то в расчетах ему следует учесть стандартное отклонение, равное 20%, если же он заключает контракт на неда­лекую перспективу, то значение отклонения в пределах от 20% до 10%, скажем, 15%, будет более верным, чем 20%.

Внутреннее стандартное отклонение (внутренняя волантильность)

Прогнозы инвестора относительно будущего значения стандар­тного отклонения называют будущим (прогнозируемым) стандар­тным отклонением. Фактическое стандартное отклонение за предыдущий период времени именуют историческим стандартным отклонением. Опционные контракты обладают еще одним стан­дартным отклонением — внутренним стандартным отклонением. Оно определяется из аналитических формул, когда известны все остальные переменные, а именно, рыночная цена опциона, время до истечения контракта, цена исполнения, цена актива, ставка без риска. Поскольку конъюнктура рынка постоянно меняется, то значение внутреннего стандартного отклонения также будет по­стоянно меняться. Аналитические компании предоставляют ин­формацию о внутреннем стандартном отклонении по каждому опционному контракту или по всем опционным контрактам для данного вида актива. В последнем случае это значение представ­ляет собой некоторую средневзвешенную величину в зависимости от объема опционной торговли, открытых позиции по тому или иному контракту и т.д.

В качестве синонима внутреннего стандартного отклонения брокеры используют также термин премия, хотя в прямом смысле этого слова термин «премия» относится к цене опциона. Так, если внутреннее стандартное отклонение имеет большее значение по сравнению с историческим стандартным отклонением, то говорят, что уровень премий высокий, и наоборот.

Для сельскохозяйственных товаров инвестор должен учитывать и такой фактор, как сезонное стандартное отклонение, поскольку оно сильно зависит от складывающихся погодных условий и вре­мени года.

Так, для зерновых культур его значение является наи­меньшим в весенние месяцы, когда урожай в Южной Америке уже собран, а в Северной еще не приступили к посеву. Наибольшее отклонение приходится на летние месяцы.

Вычисление исторического стандартного отклонения

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле


где т — среднее значение случайной величины; п — число испытаний (периодов);

xi — значение случайной величины в каждом испытании (пери­оде).

Среднее значение случайной величины определяется по форму­ле


если одно и то же значение случайной величины встречается в испытаниях несколько раз. В этом случае рі — удельный вес ис­пытаний с результатом хі в общем числе испытаний.

Наиболее часто для расчета стандартного отклонения цены ис­пользуют два приема. Первый состоит в том, что в качестве пере­менной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению, то есть


где Pi — цена актива в конце i-го периода.

Второй метод заключается в том, что в качестве переменной принимают логарифм отношения последующей цены к предыду­щей, а именно


Расчеты, получаемые с использованием первого или второго приема, не сильно отличаются друг от друга. Первый прием пред­ставляет собой не что иное, как начисление процента через опре­деленные равные промежутки времени. Второй прием заключает в себе непрерывное начисление процента. Приведем пример расче­та стандартного отклонения с использованием натурального лога­рифма. Схема расчета представлена в таблице 34. Значения цены рассматриваются за десять недель.

Таблица 34



Данный результат показывает стандартное отклонение за неде­лю. Чтобы получить значение отклонения за год, необходимо ум­ножить его на корень квадратный из числа недель в году.



Блэк и Сколес вывели следующие формулы оценки премии опционов


Поскольку се = са, то данная формула позволяет определить премию и американского опциона.





с — стандартное отклонение цены акции.

В формулах Блэка-Сколеса величина а берется в годовом исчис­лении. В аналитических материалах стандартное отклонение дает­ся в процентах, в формулы она подставляется в десятичных значениях

r — ставка без риска; на практике в формулы подставляется существующая ставка без риска для инвестиций, которые осуще­ствляются на время Т;

N (d) — функция распределения, показывающая вероятность того, что нормированная нормальная переменная будет меньше di.


Из таблицы значений функции N (d)(cM. приложение 2) нахо­дим:


Тогда

б) Определение премии опционов на акции, выплачивающие дивиденды


Пример. S = 50 долл., =45 долл., r = 10%, T= 6 месяцев, о= 0,525. Необходимо определить премию опциона колл.

Как уже отмечалось выше, информация о дивидендах может )ыть задана в двух формах: в виде 1) ставки дивиденда и 2) как ібсолютное значение дивиденда. Рассмотрим вначале вопрос оп- )еделения премии опциона для первого варианта.

Для такого случая дивиденд рассматривается как непрерывно іачисляемьій дивиденд. Соответственно ставка дивиденда пред­ставляет собой непрерывно начисляемый процент. Если ставка щвиденда меняется в рамках рассматриваемого периода, то для )асчетных целей можно использовать ее среднюю величину в рас- іете на год. Как известно, выплата дивиденда вызывает падение сурса акции на величину дивиденда. Сравним динамику роста сурсовой стоимости двух акций за некоторый период Т. В конце >того периода на первую акцию выплачивается дивиденд, а на
вторую — не выплачивается. Тогда мы можем сказать, что темп прироста курсовой стоимости первой акции ниже на величину q или что темп прироста курсовой стоимости второй акции будет выше на величину q.

Если в начале периода T курс акции, выплачивающей дивиденд, равен S, то в конце этого периода она будет стоить столько же, сколько и акция, не выплачивающая дивиденда, которая в начале периода стоит S e-qT . Поэтому можно сделать вывод о том, что европейский опцион для первой и второй акции должен иметь одинаковую стоимость. Выше мы уже привели формулы Блэка- Сколеса для оценки премии европейских опционов. Данные фор­мулы применимы и для опционов на акции, выплачивающие дивиценд, с той только разницей, что место S займет величина


d1 и d2 принимают указанный вид вследствие следующего пре­образования:


Этот результат впервые получил Мертон.

Если инвестор имеет информацию об абсолютном размере ди­виденда, то величина S уменьшается на приведенную стоимость дивиденда, а значение о принимается как стандартное отклонение чистой цены акции. Полученные цифры подставляются в формулы Блэка-Сколеса.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

В моделях оценки премии опционов используется техника фор­мирования портфеля без риска. Это позволяет для целей дискон- гирования применять ставку без риска, так как портфель, не несущий риск, должен иметь доходность, равную ставке без риска.

Премию американских опционов рассчитывают с помощью би­номинальной модели. Суть ее состоит в том, что время опционного контракта разбивают на малые интервалы и строят с учетом веро­ятности дерево распределения курсовой стоимости акции. Опре­делив премию опциона перед датой истечения контракта, последовательным дисконтированием под ставку без риска нахо­дят значение цены опциона для каждой точки пересечения дерева распределения и таким образом рассчитывают величину премии в момент заключения контракта. Если в период действия опциона на акцию выплачиваются дивиденды, то при 1) наличии информа­ции о ставке дивиденда курсовую стоимость акции в момент вы­платы дохода уменьшают на величину ставки дивиденда; 2) когда имеются данные об абсолютной величине дивиденда, чистую сто­имость акции для каждого узла дерева распределения корректиру­ют на приведенную стоимость дивиденда.

Премия европейских опционов и американского опциона колл рассчитывается с помощью формул Блэка-Сколеса. В модели при­нимается посылка, что цена актива имеет логнормальное распре­деление.

В качестве показателя, характеризующего скорость движения рынка, используют стандартное отклонение цены актива. Оно го­ворит о степени разброса значений цены актива относительно ее средней величины и о вероятности цены актива перешагнуть через цену исполнения в течение действия опционного контракта. Для расчетных целей используют историческое стандартное отклоне­ние. Из аналитических формул можно вычислить внутреннее стан­дартное отклонение опциона. При определении исторического стандартного отклонения используют два метода. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению. Второй метод — в качестве переменной использует логарифм отношения последую­щей цены к предыдущей.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.:Тривола,1994. — 232с.. 1994

Еще по теме § 34. МОДЕЛЬ БЛЭКА-СКОЛЕСА:

  1. 10.2. МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛЗА
  2. Лекция 14. Модель Блэка-Шоулза-Мертона (Б-Ш-М)
  3. 6. Модель Блэка-Шоулза
  4. 6.1.4. Модель Блэка—Скоулза
  5. Модель Блэка-Шоулза
  6. 10.7. ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛСА
  7. Переход от биномиальной к непрерывной модели рынка. Формула и уравнение Блэка-Шоулса.
  8. Гауссовская модель рынка и расчет финансовых контрактов в схемах "гибкого" страхования. Дискретная формула Блэка-Шоулса.
  9. Модель Блэка-Шоулса. "Греческие" параметры риск-менеджмента, хеджирование при бюджетных ограничениях и с учетом дивидендов. Оптимальное инвестирование.
  10. 6.3. МОДИФИКАЦИИ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛСА