§ 26. ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ, В ОСНОВЕ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ АКЦИИ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИЕ ДИВИДЕНДЫ

а) Стоимость американского и европейского опционов колл к моменту истечения срока действия контрактов

Ответим на вопрос, сколько будет стоить опцион колл непос­редственно перед истечением срока действия контракта.

В этот момент его стоимость может принимать только два значения. Если Р < X, то премия опциона равна нулю, поскольку приобретение такого опциона не принесет инвестору никакой прибыли. Если Р >Х, то премия составит Р - X. При нарушении последнего соот­ношения возникает возможность совершить арбитражную опера­цию. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1. Перед моментом истечения контракта цена опциона меньше его внутренней стоимости и равна 5 долл., цена исполне­ния — 100 долл., цена акции в данный момент — 110 долл.

Арбитражер поступит следующим образом: купит опцион, ис­полнит его и продаст акцию. Прибыль вкладчика составит 5 долл. Данный пример наглядно представлен в таблице 20.

Таблица 20

Действия арбитражера

Действия арбитражера Прибыль
1. Покупает опцион - 5 долл.
2. Исполняет опцион - 100 долл.
3. Продает акцию + 110 долл.
Чистая прибыль + 5 долл.

Пример 2. Перед истечением срока действия контракта цена опциона больше его внутренней стоимости и равна 15 долл., цена исполнения составляет 100 долл., цена акции — 110 долл.

Арбитражер поступит следующим образом: продаст опцион и купит акцию. Его затраты будут равны 95 долл. Если инвестор исполнит опцион, то арбитражер поставит ему акцию за 100 долл. В итоге его прибыль составит 5 долл. Данный пример наглядно представлен в таблице 21. В случае неисполнения опциона после окончания контракта арбитражер продаст акцию за 11О долл. и получит прибыль в размере 15 долл., то есть она будет равна премии опциона.

Таблица 21.

Действия арбитражера bgcolor=white>+15долл.
Действия арбитражера Прибыль
1 . Продает опцион
2. Покупает акцию -110 долл.
Прибыль - 95 долл.
3. Поставляет акцию в связи с исполнением опциона +100 долл.
Чистая прибыль + 5 долл.


Таким образом, к моменту истечения контракта его цена всегда равна нулю, если Р < X, или внутренней стоимости, если Р > X. Указанная граница графически представлена на рис. 54.

Рис.54. Цена опциона колл к моменту истечения контракта


б) Верхняя граница премии американского и европейского

опционов колл

Определим общую верхнюю границу опционов колл. Верхняя граница премии опциона колл в любой момент времени действия контракта не должна быть больше цены спот акции, то есть:


где с — цена опциона колл;

S — цена спот акции.

При нарушении данного условия инвестор может совершить арбитражную операцию и получить прибыль: он купит акцию и одновременно выпишет на нее опцион. Другими словами, право на приобретение какого-либо товара не может стоить больше, чем сам этот товар.

в) Стоимость американского и европейского опционов пут к моменту истечения срока действия контракта

Ответим на вопрос, сколько стоит опцион пут непосредственно перед истечением контракта. В этот момент его цена может при­нимать только два значения. Если Р >Х, премия равна нулю, если Р < X, она составит Р - X. При нарушении последнего условия возникает возможность совершить арбитражную операцию. Ука­занная граница графически представлена на рис. 55.

Рис.55. Цена опциона пут к моменту истечения контракта

г) Верхняя граница премии американского и европейского

опционов пут


После того как мы определили величину премии опциона пут перед истечением контракта, установим общую верхнюю границу его стоимости.

Цена американского опциона пут в любой момент времени дей­ствия контракта не должна быть больше цены исполнения, то есть:


где ра — цена американского опциона пут. В противном случае инвестор может получить прибыль без всякого риска.

Пример. Американский опцион пут стоит 50 долл., цена испол­нения — 45 долл.

В этом случае инвестор продает опцион за 50 долл. При испол­нении опциона он покупает акцию за 45 долл. и получает прибыль в размере 5 долл.

К моменту истечения срока контракта европейский опцион пут должен стоить не больше цены исполнения. Поэтому в момент приобретения опциона он должен стоить не больше приведенной стоимости цены исполнения:


где ре — цена европейского опциона пут;

Т — время до истечения контракта; r — непрерывно начисляемая ставка без риска.

В противном случае инвестор может получить доход за счет арбитражной операции, выписав опцион и разместив премию под процент без риска.

д) Нижняя граница премии европейского опциона колл

Нижняя граница премии европейского опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, составляет:


Данное утверждение можно доказать следующим образом. Предположим, имеется два портфеля. Портфель А состоит из ев­ропейского опциона колл с ценой исполнения X и облигации с нулевым купоном, которая не несет риск. В момент погашения облигации владельцу выплачивается ее номинал, равный X. При формировании портфеля облигация стоит X е- . В портфель Б входит одна акция.

Через время T стоимость облигации возрастет до X. Если в этот момент цена акции Р будет больше X, инвестор исполнит опцион, и цена портфеля А составит Р. Если Р< X, то опцион не исполня­ется и стоимость портфеля равна X. Следовательно, к моменту истечения периода T портфель А принимает максимальные значе­ния, которые равны Р или X.

Портфель Б по завершении периода T равен Р. Поэтому в этот момент портфель А всегда стоит столько же или больше, чем пор­тфель Б. Приведенные рассуждения наглядно представлены в таб­лице 22.

V — стоимость портфеля; се — стоимость европейского опциона колл.

Вышесказанное означает, что в начале периода Т портфель А также должен стоить столько же или больше, чем портфель Б, то есть:



Таблица 22

Таким образом, цена европейского опциона колл не может быть меньше цены спот акции минус дисконтированная стоимость цены исполнения.

Пример. Цена спот акции равна 40 долл. Цена исполнения — 37 долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%, опцион покупается на один год. Необходимо определить нижнюю границу премии опциона колл.

Она равна:


Предположим, что премия равна 6 долл., то есть меньше рассчи­танного минимального уровня. В этом случае арбитражер может совершить арбитражную операцию. Он купит опцион, займет ак­цию у брокера, продаст ее и в результате такой операции получит средства в размере:

40 долл. - 6 долл. = 34 долл.

Вкладчик инвестирует их под 10% на год и получит сумму:


Если по истечении срока контракта цена акций превысит 37 долл., то арбитражер исполнит опцион, приобретет акцию, вернет ее брокеру, и его прибыль составит:

37,58 долл. - 37 долл. = 0,58 долл.

Если цена будет меньше 37 долл., то он не исполнит опцион, а купит акцию на рынке по более дешевой цене, например, за 35 долл. Тогда его прибыль составит:

37,58 долл. — 35 долл. = 2,58 долл.

Формула (36) показывает нам переменные, от которых зависит размер премии опциона колл, а именно: премия опциона колл тем больше, чем выше значение курса акций спот (S), больше период времени до истечения контракта (T), больше ставка без риска (г) и меньше цена исполнения (X).

е) Нижняя граница премии европейского опциона пут


Для доказательства данного утверждения рассмотрим два порт­феля.

Нижняя граница премии европейского опциона пут по акциям, не выплачивающим дивиденд, равна:

Портфель А состоит из одного европейского опциона пут и одной акции. В портфель Б входит облигация с нулевым купоном стоимостью Хег.

Если в конце периода ТР < X, то держатель исполнит опцион, и портфель А будет стоить X. Если Р > X, то опцион не исполнится и стоимость портфеля равна Р. Таким образом, в момент T портфель А стоит или Р или X. Облигация с нулевым купоном в конце периода гасится по номиналу, который равен X, и портфель Б стоит X. Поэтому портфель А будет всегда стоить столько же или больше, чем портфель Б (см. таблицу 23).

Таблица 23


При отсутствии возможности совершения арбитражных опера­ций портфель А и в начале периода T должен стоить не меньше портфеля Б, поэтому:


Таким образом, европейский опцион пут стоит не меньше, чем разность между приведенной стоимостью цены исполнения и це­ной спот акции.

Пример. X = 52 долл., S = 50 долл., r = 10%, T=3 месяца. Необходимо определить нижнюю границу цены опциона пут.

Она равна:

52 долл.е~°’1х0’25 - 50 дол. = 0,716 долл.

Предположим, что премия равна 0,6 долл., то есть меньше рас­считанного минимального уровня. В этом случае инвестор совер­шит арбитражную операцию: займет 50,6 долл. на три месяца и купит опцион и акцию. Через три месяца он должен будет вернуть:

с a 0,1x0,25 с 1 о о

50,6 долл. e = 51,88 долл.

Если к этому времени Р < X, то арбитражер исполнит опцион, продаст акцию за 52 долл. и получит прибыль:

52 долл. - 51,88 долл. = 0,22 долл.

Если Р> X, то опцион не исполняется, однако акция продается уже по более высокой цене, например, за 53 долл. В итоге прибыль арбитражера после выплаты ссуды составит:

53 долл. - 51,88 долл. = 1,22 долл.

Формула (37) показывает нам переменные, от которых зависит размер премии опциона пут, а именно, премия опциона пут тем больше, чем больше цена исполнения (X), меньше курс акций спот (S), меньше ставка без риска (r), меньше период времени до исте­чения контракта (7) (зависимость премии европейского опциона пут от последней переменной несколько сложнее, чем показано выше, и будет уточнена при дальнейшем рассмотрении материа­ла).

ж) Раннее исполнение американского опциона колл.

Нижняя граница премии американского опциона колл

Американский опцион колл может быть исполнен инвестором до истечения срока контракта. Ответим на вопрос, будет ли такое решение оптимальным, когда в основе опциона лежат акции, не выплачивающие дивиденды. Например, инвестор владеет опцио­ном колл. Цена исполнения равна 65 долл., цена спот 80 долл., до истечения срока контракта остается два месяца. Как видно из примера, в случае немедленного исполнения опциона держатель получил бы прибыль, равную 15 долл. Однако данная стратегия вряд ли может быть расценена как оптимальная. Инвестору выгод­нее поступить следующим образом: инвестировать 65 долл. на два месяца, чтобы получить дополнительный доход, исполнить опци­он по истечении срока действия контракта. Поскольку акции не выплачивают дивиденды, то вкладчик не несет никаких потерь. Рассмотренный вариант является оптимальной стратегией, если инвестор планирует держать акции в случае исполнения опциона еще два месяца, то есть до истечения срока действия контракта.

Возможен вариант, когда инвестор сочтет, что цена спот акции завышена, и поэтому решит исполнить опцион, чтобы продать акцию. Однако данная стратегия также не является оптимальной. Держателю выгоднее продать опцион вместо его исполнения. Ми­

В противном случае возникает возможность получить прибыль за счет арбитражной операции.

нимальная цена, которую получит продавец, будет больше, чем внутренняя стоимость опциона. Она составит при непрерывно начисляемой ставке без риска, равной 10%:


Вышесказанное в общей форме можно доказать следующим образом. Имеются два портфеля. Портфель А состоит из одного американского опциона колл и облигации с нулевым купоном, равной X е- . В портфель Б входит одна акция. Если опцион исполняется раньше срока истечения контракта (время t), то пор­тфель А всегда будет меньше портфеля Б. Если инвестор держит опцион до момента истечения контракта, то в зависимости оттого, больше цена спот цены исполнения или меньше, портфель А будет больше или равен портфелю Б. Приведенные рассуждения нагляд­но представлены в таблице 24. Таким образом, американский оп­цион колл, в основе которого лежат акции, по которым не выплачиваются дивиденды, не будет исполняться до даты истече­ния контракта.

Поэтому цена американского и европейского оп­ционов для таких акций одинакова, и нижняя граница премии американского и европейского опционов равны.

3) Раннее исполнение американского опциона пут.

Нижняя граница премии американского опциона пут

Ответим теперь на поставленный выше вопрос, но примени­тельно к американскому опциону пут. Сравним два портфеля. Портфель А состоит из одного американского опциона пут и одной акции. В портфель Б входит одна облигация с нулевым купоном стоимостью Хе- . При досрочном исполнении опциона (время t) портфель А будет стоить X, портфель Б — Хе-что на день учета курс акций падает на величину дивиденда. Решая практические задачи, инве­стор должен корректировать значение курса акций, как было ука­зано выше, на величину, равную 75-85% стоимости дивиденда.

а) Нижняя граница премии американского и европейского

опционов колл

Чтобы определить нижнюю границу премии европейского оп­циона колл, рассмотрим два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из одной акции. Портфель Б — из европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном, равной Хе~гТ и суммы денег, равной D (D — это приведенная стоимость дивиденда, который выплачивается по акциям. Она получена путем дисконтирования дивиденда под непрерывно начисляемую ставку без риска r на время Т. Составляя часть портфеля Б, сумма D инвестируется на время T под процент r).

Если Р > X, то опцион колл исполняется it портфель Б стоит P + DrT. Если Р< X, то портфель Б стоит X + DrT.

Портфель А в обоих случаях равен Р + D r. Следовательно, портфель Б стоит дороже или столько же, сколько портфель А (см. таблицу 26). Данный результат мы имеем в конце периода Т. Поэ­тому правомерно сказать, что в начале периода T портфель Б также равен или стоит дороже портфеля А, то есть:


Таким образом, премия европейского опциона колл должна быть не меньше, чем разность между ценой спот акции и суммой приведенных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который планируется выплачивать на эти акции. Поскольку американский опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможно­стей, чем европейский, то данная формула верна и для него.

Таблица 26


Формула (38) показывает еще одну переменную, которая влияет на величину премии опциона колл, а именно, стоимость опциона уменьшается, если в период действия контракта по акциям выпла­чивается дивиденд: стоимость опциона тем меньше, чем больше размер дивиденда.

б) Нижняя граница премии американского и европейского

опционов пут

Чтобы определить нижнюю границу премии европейского оп­циона пут, рассмотрим два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из облигации с нулевым купоном, равной Хеr и суммы денег D.

В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акция При P>X портфель Б равен P + D rT. При Р < Х он стоит X+ D rT. Портфель А в обоих случаях равен X + DrT (см. табл. 27).

Таблица 27


Следовательно, стоимость портфеля Б в конце периода Т боль­ше или равна стоимости портфеля А. Поэтому в начале периода Т портфель Б должен стоить не меньше портфеля А, то есть:


Таким образом, премия европейского опциона пут должна быть не меньше разности суммы дисконтированных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который планируется выплатить, и цены спот акции. Поскольку американский опцион предоставляет ин­вестору больший диапазон возможностей, чем европейский, то данная формула верна и для него.

Формула (39) показывает нам еще одну переменную, которая влияет на величину премии опциона пут, а именно, стоимость опциона возрастает, если в период действия контракта по акциям выплачивается дивиденд: стоимость опциона тем больше, чем больше размер дивиденда.

в) Раннее исполнение американского опциона колл

Как было показано выше, раннее исполнение американского опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, не явля­ется оптимальной стратегией. Однако нельзя настаивать на этом утверждении, когда в основе лежат акции, выплачивающие диви­денды. Как известно, выплата дивидендов приводит к падению

курса акций, а следовательно, и прибыли от исполнения опциона. Поэтому исполнение американского опциона колл перед датой учета может явиться наиболее прибыльной стратегией.

Предположим, имеется опцион колл, в основе которого лежат акции, выплачивающие дивиденды Div1t Div2, Div3..., Divn на про­тяжении срока действия контракта соответственно в моменты ti, t2, t3,.., tn. Если инвестор исполнит опцион непосредственно перед датой учета выплаты последнего дивиденда (момент tn), он получит сумму, равную:


Если не исполнит опцион, то после выплаты дивиденда цена акции упадет до:


а нижняя граница цены опциона составит:



то его скорее всего следует исполнить, особенно при высоком значении Р.

Проведем аналогичные рассуждения для момента tn-1 и Divn-1. Если инвестор исполняет опцион непосредственно перед датой учета предпоследнего дивиденда, он получает сумму:


Если опцион не исполняется, то цена акции после даты учета падает до уровня:


Следующий наиболее оптимальный срок исполнения опциона может наступить только в момент tn. Поэтому нижняя граница цены опциона в момент tn-1 равна:




его оптимально исполнить в данный момент. Если провести аналогичные рассуждения для любых значений ti при i < n, то мы придем к таким же результатам.

Таким образом, если


опцион не выгодно использовать. При условии


Пример. Имеется американский опцион колл, выписанный на восемь месяцев. S= 50 долл., Х= 48 долл., r = 10%, Div2 = 0,8 долл., Div2 = 0,8 долл. Первый дивиденд выплачивается через 3 месяца, второй — через 6 месяцев. Необходимо определить, выгодно ли исполнить опцион перед первой или второй датой учета.

Для первого дивиденда:


Поскольку на дату учета второго дивиденда

0,8 > 0,7855

то оптимально исполнить опцион непосредственно перед этой датой.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

К моменту истечения контракта стоимость американского и европейского опционов колл и пут в зависимости от цены спот актива должна равняться нулю или внутренней стоимости.

Верхняя граница премии американского и европейского опци­онов колл для актива, не выплачивающего дохода, не должна превышать цену спот актива.

Верхняя граница премии американского опциона пут для акти­ва, не выплачивающего дохода, не должна быть больше цены исполнения, а для европейского опциона пут — больше приведен­ной стоимости цены исполнения.

Нижняя граница премии американского и европейского опци­онов колл для актива, не выплачивающего дохода, не должна быть меньше разности между ценой спот актива и приведенной стоимо­стью цены исполнения.

Нижняя граница премии европейского опциона пут для актива, не выплачивающего дохода, не должна быть меньше разности между приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спот актива. Нижняя граница премии американскою опциона пут для актива, не выплачивающего дохода, не должна быть меньше раз­ности между ценой исполнения и ценой спот актива. Американ­ский опцион пут будет стоить дороже аналогичного европейского опциона.

Нижняя граница премии американского и европейского опци­онов колл для актива, выплачивающего доход, должна быть не меньше, чем разность между ценой спот и суммой приведенных стоимостей цены исполнения и дохода.

Нижняя граница премии американского и европейского опци­онов пут для актива, выплачивающего доход, должна быть не мень­ше разности между суммой дисконтированных стоимостей цены исполнения и дохода и цены спот актива.

Как общее правило, раннее исполнение американского опцио­на для актива, не выплачивающего доход, нельзя считать опти­мальной стратегией, однако нельзя настаивать на данном утверждении в отношении актива, выплачивающего доход, по­скольку цена опциона колл будет падать после его выплаты. Для американского опциона пут на активы, выплачивающие и не вы­плачивающие доход, раннее исполнение контракта может явиться оптимальной стратегией. После выплаты дохода стоимость опци­она пут должна возрастать.

Премия опциона колл тем выше, чем больше цена спот актива, время до истечения контракта, ставка без риска, меньше цена исполнения и размер выплачиваемого на актив дохода. Премия опциона пут тем выше, чем больше цена исполнения, выплачива­емый на актив доход, меньше цена спот, ставка без риска и период времени до окончания контракта.

Глава X. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ

В настоящей главе рассматриваются ценовые соотношения, ко­торые должны выдерживаться между премиями различных опци­онов.

Вначале мы проанализируем зависимости между опционами с разными ценами исполнения, временем истечения и стандартным отклонением. После этого докажем паритетные взаимосвязи для европейских и американских опционов колл и пут.

а) Соотношения между премиями опционов, которые имеют различные цены исполнения

Сравним два опциона колл, которые отличаются только ценами исполнения.

X1 — цена исполнения опциона С1

Х2 — цена исполнения опциона С2.

Если X1 < Х2, то для таких опционов с1 > с2, так как первый опцион в случае его исполнения позволяет приобрести акцию по более низкой цене. Для опционов пут верным будет обратное соотношение. Если X1 < Х2, то р2 > p1 так как второй опцион в случае исполнения дает инвестору возможность продать акцию по более высокой цене.

б) Соотношение между премиями опционов

с различным временем до истечения контрактов

Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере увеличения периода действия контракта, то есть, если T2 > T1, то

Co2 > Co1 U Ро2 > Ро1

Данная закономерность возникает потому, что опционы c12 и ра2 предоставляют инвестору такие же возможности, как и опцио­ны са1 и ра1 в течение периода времени 77, но в то же время дают ему дополнительную потенциальную возможность получить при­быль в течение периода времени At, который равен Т2 - T1.

Для европейских опционов картина складывается несколько сложнее. Рассмотрим вначале опционы на акции, не выплачиваю­щие дивиденды. Увеличение срока действия контрактов увеличи­вает потенциальную возможность благоприятного исхода событий как для опциона колл, так и пут. Следовательно, это способствует росту премии опционов с более отдаленной датой истечения контрактов. В то же время, как известно, для опциона пут нижняя граница премии равна


Поэтому опцион с более близкой датой истечения должен сто­ить больше опциона с более отдаленной датой истечения контрак­та. Таким образом, мы не можем однозначно утверждать, что премия европейского опциона пут с более отдаленной датой исте­чения контракта будет больше премии опциона пут с более близкой датой истечения.

Выплаты дивидендов на акции, лежащие в основе опционов, могут привнести дополнительные нюансы в сравнительную оцен­ку премии опционов. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Имеется два европейских опциона колл, выписанных сроком один — на два месяца, другой — на три. Через два с половиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, ле­жащим в основе опционов. В таком случае вполне вероятно, что первый опцион будет стоить дороже второго.

Пример 2. Имеется два европейских опциона пут, выписанных сроком один — на два месяца, другой — на три. а) Через два с половиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, ле­жащим в основе опционов. В таком случае не исключено, что второй опцион будет стоить дороже первого. б) Выплата дивиден­дов ожидается через полтора месяца. В этом случае вполне вероят­но, что первый опцион стоит дороже второго.

в) Соотношение между премиями опционов, у которых цены активов имеют различные стандартные отклонения

Имеются два опциона. Они отличаются друг от друга только одним параметром: цена акции, лежащей в основе первого опци­она, имеет меньшее стандартное отклонение (о), то есть меньший разброс колебаний, чем цена акции второго опциона. Для такого случая возникает следующая закономерность. Если о1< о2, до




Таким образом, опцион на акцию, несущую более высокий риск для инвестора, будет стоить дороже. Это объясняется тем, что потенциально второй опцион предоставляет инвестору больше возможностей получить большую прибыль при ограниченной сте­пени риска. Показатель стандартного отклонения является еще одним показателем, от которого зависит величина премии опцио­на. Чем больше будет значение стандартного отклонения, тем больше должен стоить опцион.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.:Тривола,1994. — 232с.. 1994

Еще по теме § 26. ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ, В ОСНОВЕ КОТОРЫХ ЛЕЖАТ АКЦИИ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИЕ ДИВИДЕНДЫ:

  1. 9.1. Границы премии опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды
  2. 7.2. ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ
  3. 9.2. Границы премии опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды
  4. 7.1. ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ НЕ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ
  5. 10.2.3. Оценка премии европейских опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды
  6. Лекция 9. Границы премии (цены) опционов на акции
  7. 10.1.6. Биномиальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды
  8. 7.1.7. Нижняя граница премии американского опциона коля. Раннее исполнение американского опциона колл
  9. 9.2.1. Верхняя граница премии европейских и американских опционов колл и пут
  10. 7.1.6. Нижняя граница премии европейского опциона пут