Выбор портфеля на основе подхода «доход — риск»

Ни один бизнес не обходится без решений, и принимать их следует в системе, дабы иметь хотя бы один шанс на то, чтобы оказаться

правым.

Питер Ф. Друкер

Началом современной теории портфельных инвестиций считается 1952 г., когда появилась статья Г. Марковица (Harry Markovitz) под названием «Выбор портфе­ля». В этой статье впервые были предложены математическая модель формирова­ния оптимального портфеля ценных бумаг и методы построения таких портфелей на основе теоретико-вероятностной формализации понятия ожидаемой доходно­сти и риска. Применение вероятностных методов позволило существенно продви­нуться в исследовании влияния риска на принятие инвестиционных решений.

Упрощенная модель: портфель из двух активов

Концепция диверсификации инвестиций определяется следующим простым вы­ражением: «Не кладите все ваши яйца в одну корзину». Диверсификация означает вложение капитала по крайней мере в два различных актива. Если все ваши день­ги инвестируются в один рисковый актив, норма доходности ваших инвестиций зависит исключительно от того, какова будет рыночная стоимость этого актива и чему будет равна величина полученного дохода от владения этим активом. Если вы вкладываете свои денежные средства в два различных актива и оба характери­зуются высоким уровнем риска, то вы можете получить низкий доход на вложен­ный капитал или можете даже понести существенные убытки.

Используя половину денежных средств для покупки одного актива, а другую половину — для покупки другого актива, можно снизить величину риска в целом для инвестированного капитала в сравнении с вариантом вложения капитала на покупку какого-нибудь одного актива. Это обусловлено тем, что низкий уровень дохода, получаемого по одному активу, может компенсироваться высоким дохо­дом, получаемым по другому активу.

При диверсификации инвестиций за счет формирования портфеля ценных бу­маг ожидаемая доходность портфеля определяется из выражения:


где а. — доля инвестиций, вложенных в i-й актив, доли ед.; г. — ожидаемая норма доходности i-го актива, % в год; n — число различных активов в портфеле.

Ожидаемая норма доходности портфеля с ценными бумагами представляет со­бой средневзвешенную ставку доходности на основе доходности отдельных видов ценных бумаг, лежащих в основе портфеля. В качестве весов выступают доли каж­дого вида ценных бумаг в портфеле.

Уровень риска при формировании портфеля из акций двух компаний можно определить из следующего выражения:


где a1 — доля средств, вложенная в акции первой компании; а2 — доля средств, вложенная в акции второй компании; а1 — уровень риска для акций первой ком­пании; а2 — уровень риска для акций второй компании; KCr — коэффициент кор­реляции между ожидаемой доходностью акций первой и второй компаний.

Пример 6.2. Вы решили вложить 100 тыс. руб. в покупку акций компаний А и В. Компания А выпускает купальники, солнечные зонты и другие изделия, необ­ходимые при жарком лете. Компания В выпускает изделия (зонты, плащи и др.), которые необходимы при холодном и дождливом лете. При жаркой летней погоде потребители будут покупать летние изделия, и прибыль компании А увеличится, что будет способствовать росту доходности акций этой компании. Если лето будет дождливым и холодным, то увеличится спрос на изделия компании В, и можно ожидать, что доходность акций компании В возрастет.

Предположим, что вероятности наступления холодного или жаркого лета рав­ны 0,5. При жарком лете доходность инвестиций, вложенных в акции компании А, будет равна 50% в год, а доходность акций компании В составит (-20%) в год. Если же лето будет холодным и дождливым, то мы будем иметь обратную картину: доходность акций компании А составит (-20%), а доходность акций компании В будет равна 50% в год. Показатель, выражающий меру тесноты связи совместно­го движения нормы доходности акций компаний А и В, называется коэффициен­том корреляции, который численно изменяется в пределах от -1 до +1. В нашем примере коэффициент корреляции примем равным (-1), поскольку доходности акций компаний А и В изменяются в обратной зависимости, т. е. при увеличении доходности одной акции доходность другой акции снижается, и наоборот.

Перед инвестором стоит выбор: вложить свои свободные денежные средства в акции компании А или компании В? Оба варианта вложения средств могут обе­спечить доходность инвестиций в размере 50% в год с вероятностью 0,5 и с такой же степенью вероятности — принести убыток в размере 20% в год.

Если инвестор диверсифицирует свои вложения путем покупки акций обеих компаний, то риск потерь может быть сведен к нулю. Но уровень доходности его инвестиций также снизится, что видно из следующих расчетов.

Пример 6.3. Инвестор решил вложить половину своих свободных денежных средств в акции компании А, а другую половину — в акции компании В. В этом случае уровень доходности его инвестиций будет следующим (табл. 6.4).

Таблица 6.4. Ожидаемая доходность инвестиций при диверсификации их вложений
Характер

лета

Вероятность Норма доходности, %
инвестирование в акции А инвестирование в акции В инвестирование в акции А и В
Жаркое 0,5 50 -20 15
Холодное 0,5 -20 50 15


При диверсификации инвестиций ожидаемая норма доходности капитала при наступлении жаркого лета будет равна:

border=0 src="/files/uch_group42/uch_pgroup67/uch_uch6625/image/140.jpg">


Инвестор будет иметь это же значение ожидаемой нормы доходности и при на­ступлении холодного лета:


На основе формулы (6.8) определим влияние диверсификации инвестиций на величину риска, с которым столкнется инвестор при формировании портфеля из акций А и В:

Таким образом, при любых погодных условиях диверсификация инвестиций обеспечит инвестору доходность в размере 15% в год. Исключение риска обу­словлено характером изменения доходности двух активов. При увеличении до­ходности одного актива доходность другого актива снижается до отрицательных значений. Это говорит о том, что доходность рассматриваемых активов находится в обратной корреляционной зависимости.

Вернемся вновь к коэффициенту корреляционной зависимости, который, как отмечалось выше, выражает меру тесноты связи совместного движения двух пе­ременных. Если при увеличении доходности одного актива доходность другого актива также растет, то говорят, что зависимость между этими переменными пря­мая и коэффициент корреляции имеет положительное значение. Если же при из­менении доходности одного актива доходность другого актива не изменяется, то коэффициент корреляции равен нулю и говорят, что между доходностями этих активов нет связи. Если же при увеличении доходности одного актива доходность другого актива снижается, то говорят, что зависимость между доходностями та­ких активов обратная и коэффициент корреляции меньше нуля.

Рассмотренный пример позволяет сделать вывод о том, что при обратной кор­реляционной связи между доходностями акций двух компаний можно полностью исключить риск, если инвестировать свои денежные средства в покупку акций этих двух компаний. На практике такие связи встречаются не очень часто. Обычно доходности акций большинства компаний находятся в прямой зависимости и ко­эффициент корреляции этой зависимости имеет положительное значение. Это обусловлено тем, что уровень доходности большинства акций, обращающихся на рынке ценных бумаг, зависит от состояния экономики в целом. Поэтому диверси­фикация инвестиций путем покупки двух таких активов не исключает полностью риск, но может снизить уровень риска.

Пример 6.4. Инвестор может вложить свои денежные средства в покупку акций компаний «Дельта» и «Гамма». Ожидаемая норма доходности инвестиций, вло­женных в акции компании «Дельта», 25% в год, в акции компании «Гамма» — 15% в год. Уровень риска вложений средств в акции компании «Дельта» равен 20%, в акции компании «Гамма» — 14%. Предположим, что инвестор решил вложить 40% своих средств в акции компании «Дельта» и 60% средств — в покупку акций
компании «Гамма». Коэффициент корреляции равен +0,3. Определить доходность портфеля и уровень риска портфельного инвестирования.

Ожидаемую доходность портфеля определим по формуле (6.7):


1-і.

Уровень риска инвестиций, вложенных в акции двух компаний, находим из вы­ражения (6.8):


Полученные результаты показывают, что диверсификация инвестиций в при­нятом соотношении позволяет получить ожидаемую норму доходности инвести­ций, равной 17% в год, при одновременном снижении уровня риска для портфеля в целом до 13,2%.

Пример 6.5. Инвестор вложил все свои денежные средства в покупку акций компании «Пирамида», т. е. портфель сформирован из акций одной компании. Ожидаемая норма доходности этих акций равна 22% и уровень риска — 20%. А теперь предположим, что инвестор решил диверсифицировать свой портфель. С этой целью он продал половину акций компании «Пирамида» и вырученные средства вложил в покупку акций компании «Конус», которые имеют ту же цену, тот же риск (20%) и ту же ожидаемую норму доходности (22%). Коэффициент корреляции, определяющий тесноту зависимости ожидаемой доходности обеих компаний, равен 0,3. В этом случае ожидаемая норма доходности нового порт­феля, сформированного из акций компаний «Пирамида» и «Конус», составит (определяется из уравнения (6.7)):


Расчеты показывают, что диверсификация не принесла прироста нормы доход­ности инвестированного капитала. Однако диверсификации вложений капитала может оказать влияние на уровень риска инвестиций в целом, что видно из сле­дующего расчета (на основе уравнения (6.8)):


Полученный результат свидетельствует, что реструктуризация портфеля по­зволила снизить уровень риска инвестиций с 20 до 16,1%, что является привлека­тельным для инвестора.

Теперь предположим, что инвестор вложил денежные средства поровну в по­купку акций компаний «Пирамида» и «Конус», причем акции обеих компаний имеют одинаковые показатели ожидаемой нормы доходности (22%) и стандарт­ного отклонения нормы доходности (20%). Если нормы доходности этих акций имеют корреляционную связь, выражающуюся коэффициентом корреляции, рав­ным (+1), то реструктурированный портфель имеет такую же ожидаемую норму доходности, что и портфель, который сформирован только из акций компании «Пирамида». Поэтому реструктуризация портфеля за счет покупки акций компа­нии «Конус» не отразится ни на значении ожидаемой нормы доходности портфе­ля (22%), ни на величине риска портфеля (20%).

О чем говорит показатель коэффициента корреляции, равный +1? Это означает, что если ожидаемая норма доходности акций компании «Пирамида» снизится с 22 до 10% в год, то для акций компании «Конус» этот показатель также должен снизиться с 22 до 10% в год. Или, наоборот: при увеличении ожидаемой нормы до­ходности акций компании «Конус» с 22 до 30% в год ожидаемая норма доходности акций компании «Пирамида» должна также возрасти с 22 до 30% в год. Практиче­ски ожидаемые нормы доходности акций двух разных компаний никогда не будут совершенно коррелированными, и наиболее вероятно, что коэффициент корре­ляции для доходности этих акций будет больше нуля, но меньше единицы.

Отметим, что степень влияния диверсификации на уровень риска зависит от величины коэффициента корреляции: чем меньше значение этого коэффициента, тем ниже будет уровень риска для портфеля, включающего эти акции. Из уравне­ния (6.8) следует, что для рассмотренного примера при коэффициенте корреля­ции, равном (-1), риск портфеля акций будет равен нулю (рис. 6.4).


Рис. 6.4. Зависимость стандартного отклонения доходности портфеля из двух активов от коэффициента корреляции [а1 = ст2/(ст1/ст2)]


При коэффициенте корреляции, равном +1, показатель риска портфеля будет иметь максимальное значение — 20%. При таком уровне корреляционной зависимости диверсификация инвестиций не снижает риска портфеля в целом. Это гипотети­ческий случай, поскольку на практике нормы доходности двух акций не имеют такой тесной корреляционной зависимости.

Рассмотрим зависимость дисперсии портфеля от коэффициента корреляции. В случае, когда значение коэффициента равно +1 (полная положительная корре­ляция доходности активов), показатель дисперсии принимает вид:


Из формулы (6.9) видно, что при рассмотренном коэффициенте корреляции стандартное отклонение доходности портфеля, включающего два актива, равно средневзвешенному стандартному отклонению доходностей этих активов и уве­личения доходности портфеля при включении таких активов в портфель не про-

Из двух активов с полной отрицательной корреляцией доходности всегда мож­но составить безрисковый портфель. Доходность такого портфеля в зависимости от времени не изменяется. На рис. 6.5 показатель доходности портфеля представ­лен в виде горизонтальной линии (Rpoit = 17,5%).

исходит. В этом случае наблюдается усреднение рисков вложений в отдельные активы.

Когда коэффициент корреляции равен -1 (полная отрицательная корреляция), дисперсия будет иметь вид:

Рис. 6.5. Доходность двух активов, включенных в портфель (Kf" =-1)

Две другие линии показывают возможные изменения доходностей активов, вхо­дящих в портфель. Падение доходности одного актива всегда полностью компен­сируется ростом доходности другого актива.

При формировании портфеля инвестор всегда должен отбирать те активы, для которых коэффициент корреляции будет иметь минимальное значение. Такой портфель может обеспечить более высокий уровень ожидаемой доходности при том же риске по сравнению с другими портфелями.

Эффект диверсификации

Мы рассмотрели портфель, состоящий из двух активов, и сделали общие выводы относительно его формирования. Они верны и для портфеля, сформированного из нескольких активов.

Перепишем формулу (6.7), заменив индекс i на k:

где ak — вес k-го актива в портфеле из n активов; rk — доходность k-го актива, %. Дисперсия доходности портфеля в общем виде вычисляется по формуле:



где K“r — коэффициент корреляции между активами i и k.

Дисперсия портфеля является функцией дисперсий индивидуальных активов и попарной корреляции между ними. В общем виде формула дисперсии прини­мает вид:


Рассмотрим портфель с равными долями активов:


Тогда первая часть суммы, составляющей a2Port, будет равна:


максимальная из дисперсий активов, составляющих портфель.

Таким образом, при включении дополнительного актива в большой портфель дисперсия его доходности практически не играет роли — важна только средняя ковариация доходности этого актива с доходностью других активов портфеля.

Явление снижения дисперсии портфеля при объединении значительного числа активов называется эффектом диверсификации. Проиллюстрируем его на резуль­татах моделирования стандартного отклонения портфеля акций, расширяемого за счет добавления по одной случайным образом выбранной акции к уже имеющим­ся — с равными весами.

Рис. 6.6. Зависимость риска портфеля от числа входящих в него активов




На рис. 6.6 показано, как повышение уровня диверсификации (увеличение n — числа различных активов в портфеле) уменьшает портфельный риск и его значе­ние довольно быстро стремится к асимптотическому значению, равному корню квадратному из средней ковариации. Вложение инвестиций в более чем 50 разных активов уменьшает риск только немного ниже уровня риска для портфеля с 30 ви­дами активов. Из этого следует, что не следует формировать портфель из сотни различных активов, поскольку риск портфеля снизится на очень незначительную величину, а управление таким портфелем потребует значительных средств и мно­гократно усложнится.

Диверсификация позволяет снизить только величину несистематического ри­ска, который обусловлен индивидуальными особенностями отдельного эмитента. Величина систематического риска для реальных портфелей не снижается путем диверсификации, поскольку этот вид риска зависит от стабильности развития экономики и ряда макроэкономических показателей. Чем выше стабильность, тем ниже систематический риск.

<< | >>
Источник: Бахрамов Ю. М., Глухов В. В.. Финансовый менеджмент: Учебник для вузов. 2-е изд.,2011. — 496 с.. 2011

Еще по теме Выбор портфеля на основе подхода «доход — риск»:

  1. § 5. Эффект дохода и эффект замещения по Дж. Хиксу и Е. Слуцкому. Выбор потребителя на основе анализа характеристик элементов продукта
  2. Риск портфеля
  3. Тема 25. Диверсификация и риск портфеля
  4. Риск портфеля.
  5. 7.5. 3. Риск инвестиционного портфеля.
  6. Глава 18 ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ. РИСК И ДОХОДНОСТЬ ПОРТФЕЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
  7. 1. ПОДХОДЫ К УПРАВЛЕНИЮ КРЕДИТНЫМ ПОРТФЕЛЕМ
  8. 4.1.9. Отношение к риску и выбор портфеля
  9. Вопрос 97 Стратегия управления портфелем ценных бумаг. Определение нормы дохода портфеля ценных бумаг.
  10. Выбор потребителя при изменении дохода. Линия “доход—потребление”
  11. ПОДХОДЫ К УПРАВЛЕНИЮ КРЕДИТНЫМ ПОРТФЕЛЕМ
  12. 4.1.8. Выбор портфеля при одном рисковом финансовом титуле
  13. 2.2.2. Риск выбора и надежности партнера
  14. Риск и доходность при выборе величины текущих активов
  15. Подходы к проведению стресс-тестирования кредитного портфеля банка