Аннуитет

Ничто не приносит людям большей удовлетворенности содеянным, чем способность выполнить практически невозможное, даже если это и делается крайне неудачно.

Питер Ф. Друкер

Существует много задач, связанных с расчетом будущей или сегодняшней стои­мости накопленной суммы при условии ежегодных вкладов равными суммами. Аннуитет — это серия выплат (вкладов) равными суммами через равные про­межутки времени (каждая выплата происходит в конце временного промежутка, вклад — в начале).

hspace=0 vspace=0 align=left> Будущая стоимость аннуитета в 1 руб., или множитель сложного процента для
аннуитета
при разных значениях r и n, приведена в табл. 2 Приложе­

Для определения будущей стоимости накопленных ежегодных равных вкладов А через n лет при норме доходности (процентной ставке) r используется следую­щая формула:

ния. Применение этой таблицы значительно упрощает расчет будущей стоимости вкладов (выплат) в виде аннуитетов.

Пример 3.7. Сидоров решил каждый год в течение 4 лет вкладывать в Сбербанк 4 тыс. руб. под 15% годовых с целью накопления денег для покупки мебели. Какую сумму получит Сидоров через 4 года?

Применив уравнение (3.6), получим следующее значение накопленной сум­мы денег за 4 года:


Обратное значение выражения (3.6) позволяет определить аннуитет при задан­ной процентной ставке r и накопленной сумме платежей в течение периода време-
называется множителем накопительно­

ни n. В этом случае выражение

го фонда. Величина платежей в накопительный фонд определяется как

Пример 3.8. Определить аннуитет с целью аккумулирования средств, необхо­димых для погашения через 5 лет кредита в сумме 200 тыс. руб., полученного се­годня сроком на 5 лет под 9% в год. Платежи в накопительный фонд производятся один раз в год.


Во многих случаях возникает необходимость определения суммы вкладывае­мых сегодня денежных средств, чтобы через определенный промежуток времени при известной процентной ставке получить заданную будущую стоимость.

Обобщенная формула для расчета приведенной стоимости денежных средств, которые будут получены в будущем через n лет, выводится из уравнения (3.3):

Пример 3.9. Вы решили сегодня отложить часть своего заработка, чтобы через год иметь возможность оплатить свое обучение в течение двух семестров в По­литехническом университете. Стоимость обучения равна 24 200 руб. за год. Про­центная ставка по депозиту в банке равна 10% в год при сложном начислении про­центов. Сколько требуется внести денежных средств на депозитный счет, чтобы вы имели возможность оплатить свое годовое обучение в вузе спустя один год?

Значение 1/(1 + r)n называется фактором приведенной стоимости 1 руб. и в табл. 3 Приложения приведены величины этих факторов для разных показателей r и n. Использование табличных данных облегчает расчеты приведенной стоимости бу­дущего денежного потока.

Пример 3.11. Предположим, что Сидоров через 4 года получит 55 тыс. руб., тог­да сегодняшняя стоимость этой будущей суммы будет равна:

Пример 3.10. Определить сегодняшнюю стоимость 55 тыс. руб., которые полу­чит Иванов через 3 года при условии стоимости капитала на финансовом рынке, равном 8%. Для решения примера используем данные табл. 3 Приложения:

Пример 3.12. В примере 3.10 изменим процентную ставку с 8 до 10% и рассчита­ем величину приведенной стоимости 55 тыс. руб., которые будут получены через 4 года:


Таким образом, увеличение коэффициента дисконтирования, т. е. процентной ставки, с 8 до 10% снижает величину приведенной стоимости получаемых через 4 года 55 тыс. руб. с 40 425 до 37 565 руб.

Достаточно часто инвестор желает знать сумму, которая должна быть инвести­рована сегодня с целью обеспечения в будущем платежей в виде аннуитета в те­чение определенного периода. Например, родители хотели бы сегодня вложить
некоторую сумму денег Р на депозитный счет под определенный процент сроком на t лет, чтобы затем в течение ряда лет (скажем, 4 года) ежегодно вносить плату за обучение своего сына в вузе. Предположим, что плата за обучение в вузе равна 30 тыс. руб. в год. По депозитному вкладу банк начисляет ежегодно доход в раз­мере 10%.

Денежные потоки для рассматриваемого случая представлены на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Диаграмма денежных потоков для оплаты обучения


Один из методов решения данной задачи — это ее декомпозиция на 4 неболь­шие задачи по определению приведенной стоимости платежей, которую нужно вложить сегодня на один год, затем на два года и т. д.

2. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через 2 года на счете было 30 тыс. руб.?

3. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через 3 года на счете было 30 тыс. руб.?

4. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через 4 года на счете было 30 тыс. руб.?

Общая сумма денежных средств, которая должна быть вложена на депозитный счет, равна:

В общем виде техника расчета может быть представлена в следующем виде:

1. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через год на счете было 30 тыс. руб. (результаты округлены до рубля)?


Выражение

hspace=0 vspace=0> называется множителем приведенной стоимости анну-


итета, и его показатели с точностью до четырех знаков после запятой для разных значений r и n приведены в табл. 4 Приложения. Если при расчетах необходимо получить большую степень точности, то для этого необходимо использовать фор­мулу (3.10). Если инвестора удовлетворяет меньшая точность, то удобнее поль­зоваться данными вышеуказанной таблицы и величину приведенной стоимости будущих аннуитетов можно определить по формуле:


Если вернуться к условиям вышерассмотренного примера, то сумму денежных средств, которая должна быть внесена на депозитный счет для будущих выплат за обучение, находим следующим образом. В табл. 4 Приложения на пересечении столбца «10%» и строки «4 года» находим значение множителя приведенной стои­мости 1 руб. аннуитета, который равен 3,1699:


Пример 3.13. Сидоров-старший вложил сегодня 33 123 руб. на депозитный счет в отделение Сбербанка с тем, чтобы внук ежегодно мог брать определенную сумму для проведения летнего отдыха в течение 4 лет. Процентная ставка равна 8% в год. Какую сумму (равными долями) может брать внук в течение 4 лет?

В табл. 4 Приложения на пересечении столбца «8%» и строки «4 года» находим зна­чение процентного множителя, который равен 3,3121. Обратная величина этого зна­чения равна 0,30112. Следовательно, величина изъятий в виде аннуитета будет равна:


Таким образом, внук Сидорова-старшего будет иметь возможность в течение 4 лет ежегодно снимать 10 тыс. руб. для проведения своего летнего отдыха.

) или его табличный аналог 1/(Г4, r, n) называ­
Значение і
ют множителем возмещения инвестиций, поскольку он используется при расчете дохода, который должен приносить инвестированный капитал.

Пример 3.14. Компания VN взяла кредит в сумме $15 тыс. при условиях выплаты еже­месячно равными долями в течение 6 месяцев, начислениях 3% в месяц, схемы начис­ления — по сложному проценту. Определить сумму ежемесячных выплат по кредиту:

Пример 3.15.
Петрова купила в кредит холодильник стоимостью 20 тыс. руб. Определить месячные выплаты по данному кредиту, если он был получен сроком на 12 месяцев под 1% в месяц:

Более точное значение аннуитета можно определить из выражения:

Величину 11,2551 находим по табл. 4 Приложения на пересечении столбца «1%» и строки «12 периодов».




Бессрочный аннуитет — денежный поток, который инвестор ожидает получать бессрочно. В этом случае число периодов получения денежных потоков в виде ан­нуитета n стремится к бесконечности, и поэтому множитель приведенной стоимо­сти аннуитета при заданной процентной ставке r определяется как 1/r. Приведен­ную стоимость бессрочного аннуитета можно найти из выражения:

Пример 3.16. Определить приведенную стоимость бессрочного аннуитета, рав­ного 12 тыс. руб., если процентная ставка составляет 8% в год:
Достаточно часто денежные потоки имеют переменные значения, как показано на рис. 3.4 (в тыс. руб.).

Рис. 3.4. Переменные по величине денежные потоки

Величина эквивалентного аннуитета при r = 0,1 и n = 5 годам (по данным табл. 4 Приложения):

В некоторых случаях такие денежные потоки удобнее выражать в виде эквива­лентного аннуитета. Для этого необходимо найти приведенную величину денеж­ных потоков. Примем ставку дисконтирования равной 10% и определим приве­денную величину денежных потоков:

Представленные на рис. 3.4 денежные потоки эквивалентны денежным пото­кам в виде аннуитета, равного 76 387 руб. в год в течение 5 лет при ставке дискон­тирования 10% в год.

Пример 3.17. Директору компании «Лямбда» г-ну Ахмедову сегодня испол­нилось 30 лет, и он задумался о своем пенсионном обеспечении. Он предполагает получать пенсию с 61 года ежемесячно в сумме 10 тыс. руб.

Первая проблема, с которой сталкивается наш будущий пенсионер, — это продолжи­тельность времени получения пенсии. Предположим, что г-н Ахмедов решил получать пенсию в течение 20 лет. Следующий этап принятия решения — это определение программы организации ежегодных вкладов в Пенсионный фонд или в банк. Пред­положим, что г-н Ахмедов решил делать вклады в отделение Сбербанка под 6% в год.

Сумма накопленных денег, которая позволит г-ну Ахмедову со дня выхода на пен­сию ежемесячно получать 10 тыс. руб., определяется на основе выражения (3.10) при условии, что А = 10 000 руб., r = 0,06/12 = 0,005, n = 20 х 12 = 240:

Итак, имея на день выхода на пенсию на своем счете 1 395 808 руб., наш буду­щий пенсионер может с 61 года до 80 лет включительно получать пенсию в сумме 10 тыс. руб. в месяц.

Сумма денег, которую г-н Ахмедов должен ежегодно вкладывать на свой счет в те­чение 30 лет, имеет форму аннуитета и величина ее определяется по формуле (3.7):



Если Ахмедов решает вложить сегодня сумму денег под 6% в год, которая обе­спечит ему необходимые финансовые ресурсы в сумме 1 395 808 руб., то величина такого вклада равна:


При расчете суммы накопленных вложений или приведенных значений буду­щих денежных потоков с использованием сложных процентных ставок временные периоды могут быть равными году, полугодию, кварталу или другому интервалу. Например, при вложении денег в сумме А руб. сроком на n лет под r % в год с на­числением процентов один раз в год в конце срока вклад возрастет до:


Если проценты будут начисляться два раза в год, то сумма вклада к концу срока n составит:


Если проценты будут начисляться m раз в год, то к концу срока n сумма вклада возрастет, согласно формуле (3.5), до:


n N ' ' ~

Предел (1 + r/m)m, при стремлении m к бесконечности, равен er (е — основание натурального логарифма, равное 2,7183). Выражение ern является коэффициентом наращивания вклада при непрерывном начислении процентов. При таком спосо­бе начисления процентов вклад в сумме А руб. через n лет возрастет до:


В табл. 3.1 показано влияние частоты начисления процентов на величину вклада в сумме 100 тыс. руб. через год при процентной ставке 10% в год:

Дисконтированное значение P будущего денежного потока F на основе непре­рывной процентной ставки определяется из выражения:


Пример 3.18. Петрову предлагают купить за 120 тыс. руб. финансовый ин­струмент, который позволит ему через месяц получить 200 тыс. руб. Петров решил

Таблица 3.1. Влияние частоты начисления процентов на величину вклада
Частота начисления процентов Накопленная сумма вклада через год, руб.
Раз в год (m = 1) 110 000
Два раза в год (m = 2) 110 250
Ежеквартально (m = 4) 110381
Ежемесячно (m = 12) 110 471
Непрерывное начисление 110517

принять ставку дисконтирования равной 8% (доходность альтернативного инве­стиционного проекта, от которого он отказывается в пользу данного проекта) при непрерывном начислении процентов. Может ли принять это предложение Петров?

Обозначим F = 200 000 руб., r = 8%, n = 0,083 года. Тогда на основании (3.14) приведенная величина 200 тыс. руб. равна:


Полученный результат показывает, что рассматриваемое предложение невы­годно для Петрова, поскольку приведенная величина 200 тыс. руб. при непрерыв­ном дисконтировании меньше стоимости финансового инструмента на 17 043 руб. (120 000 - 102 957).

Рассмотрим связь процентных ставок при сложном и непрерывном способах начисления процентов. Пусть r1 — процентная ставка при сложном ее начислении m раз в год, а r2 — процентная ставка с непрерывным ее начислением. На основе выражений (3.5) и (3.13) мы можем записать:


Отсюда следует, что:


а значение r2 равно:


Уравнение (3.15) позволяет пересчитать процентную ставку, используемую при непрерывном начислении процентов, в ставку, которая используется при слож­ном начислении процентов m раз в год. Выражение (3.16) позволяет конвертиро­вать процентную ставку при сложном начислении процентов m раз в год в ставку, которая используется при непрерывном начислении процентов.

Пример 3.19. Банк принимает средства на депозитный счет под 12% в год со сложным начислением процентов два раза в год. Компания «Пирамида» вложи­ла на этот счет 5 млн руб. сроком на 1 год. Определить:

• накопленную сумму денег к концу срока хранения вклада;

• эквивалентную непрерывную ставку.

Обозначим r1 = 0,12, n = 1 год, m = 2 и подставим эти значения в (3.5) и (3.16):

Пример 3.20. Банк предоставляет кредит сроком на 1 год под 10% в год при условии непрерывного начисления процентной ставки. Определить процентную ставку, если кредит предоставляется с условием сложного начисления процен­тов, причем проценты начисляются ежеквартально. Примем, что r2 = 0,1, m = 4, n = 1 год. На основе выражения (3.15) находим r1:

Подставив полученное значение процентной ставки в выражение (3.13), нахо­дим наращенную сумму вклада при непрерывном начислении процентной ставки:

Предположим, что сумма кредита равна 1 млн руб. При непрерывном начис­лении процентов к концу года заемщик должен вернуть банку:

При ежеквартальном начислении процентов сумма кредита равна:

Пример 3.21. Банк предоставил кредит 2 млн руб. сроком на 5 лет под 12% в год с условием начисления сложных процентов раз в год. Определить сумму денег, которую должен выплатить заемщик через 5 лет, если начисление процентов бу­дет производиться непрерывно.


<< | >>
Источник: Бахрамов Ю. М., Глухов В. В.. Финансовый менеджмент: Учебник для вузов. 2-е изд.,2011. — 496 с.. 2011

Еще по теме Аннуитет:

  1. 1.4.5. Понятие и оценка аннуитетов
  2. 3.2.Аннуитет и его виды
  3. 10.5.5 Текущая стоимость аннуитета
  4. Аннуитеты и его виды
  5. Нахождение будущей и настоящей (приведенной) стоимости аннуитета
  6. Дисконтирование денежных потоков. Аннуитеты
  7. Текущая стоимость аннуитета
  8. Аннуитет и перпетуитет
  9. Аннуитет бывает выгоднее
  10. 9.2.5. Ипотека с обратным аннуитетом
  11. Метод эквивалентного аннуитета
  12. 10.2.2. Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)
  13. 3.2. ЗНАКОМСТВО С БЕССРОЧНОЙ РЕНТОЙ И АННУИТЕТОМ
  14. Аннуитет
  15. Аннуитет
  16. Аннуитет
  17. Как оценить аннуитет
  18. III Методический инструментарий оценки стоимости денег при аннуитете
  19. 2.3.13. Оценка аннуитетов с изменяющейся величиной платежа
  20. Ипотека с обратным аннуитетом