2.6. Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности

Если наблюдаемый временной ряд обладает выраженной сезонностью, то модель ARMA, соответствующая этому ряду, должна содержать составляющие, обеспечивающие проявление сезонности в порождаемой этой моделью последовательности наблюдений.

Для квартальных данных чисто сезонными являются стационарные модели сезонной авторегрессии первого порядка (SAR(1))


Xt = a4 Xt-4 + ?t , I «4 I < 1
и сезонного скользящего среднего первого порядка (SMA(1))
Xt = St + b4 St-4 .
В первой модели p(k) = a^4 для k = 4m, m = 0, 1, 2, ..., p(k) = 0 для остальных k > 0.
Во второй модели p(0) = 1, p(4) = b4 , p(k) = 0 для остальных k > 0.

Для квартальных данных чисто сезонными являются стационарные модели сезонной авторегрессии первого порядка (SAR(1))


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Ниже приведены смоделированные реализации модели SAR(1) с a4 = 0.8 и модели SMA(1) с b4 = 0.8.
Комбинации несезонных и сезонных изменений реализуются, например, в моделях ARMA((1, 4), 1)
X = ai Xt-i + a4 Xt-4 + St + bi s-i и ARMA(1, (1,4))
Xt = a1 Xt-1 + St + b1 St-1+ b4 St-4 .

Следующие два графика показывают поведение смоделированных реализаций таких рядов при a1 = 2/3, a4 = - 1/48, b4 = 1/5 у первого ряда и при a1 = 0.4, b1 = 0.3, b4 = 0.8 у второго ряда.


Следующие два графика показывают поведение смоделированных реализаций таких рядов при a1 = 2/3, a4 = - 1/48, b4 = 1/5 у первого ряда и при a1 = 0.4, b1 = 0.3, b4 = 0.8 у второго ряда.


| ARMA((1, 4), 1) | ARMA(1, (1,4))|
Зметим, что для первой модели уравнение a(z) = 0 принимает вид 1- 2/3z + 1/48 z4 = 0, т.е. z4 - 32z + 48 = 0; корни этого уравнения z1 = 2, z2 = 2, z3 = - 2 + iV8, z4 = - 2 - iV8 лежат вне единичного круга, что обеспечивает стационарность
рассматриваемого процесса.
Во второй модели a(z) = 0 принимает вид 1 - 0.4 z = 0; корень этого уравнения z = 2.5 > 1, так что и эта модель стационарна.
Кроме рассмотренных примеров аддитивных сезонных моделей, употребляются также и мультипликативные спецификации, например,
(1- a1L)Xt = (1+ b1L)(1+ bL4) st ,
(1- a1L)(1- a4L4) Xt = (1+ b1L) st . Первая дает
Xt = a1 Xt-1 + St + b1 St-1+ b4 St-4 + b1b4 St-5 ,
а вторая
Xt = a1 Xt-1 + a4 Xt-4 - a1a4 Xt-5 + St + b1 St-1 .
В первой модели допускается взаимодействие составляющих скользящего среднего на лагах 1 и 4 (т.е. значений St-1 и St-4), а во второй - взаимодействие авторегрессионных составляющих на лагах 1 и 4 (т.е. значений Xt-1 и Xt-4 ). Конечно, эти две модели являются частными случаями аддитивных моделей
Xt = a1 Xt-1 + St + b St-1+ b4 St-4 + b5 St-5 ,
Xt = a1 Xt-1 + a4 Xt-4 + a5 Xt-5 + St + b St-1
c b5 = b1b4 , a5 = - a1 a4 . При приближенном выполнении последних соотношений (по крайней мере, если гипотезы о наличии таких соотношений не отвергаются), естественно перейти от оценивания аддитивной модели к оцениванию мультипликативной модели, опять следуя принципу "экономности" модели ("parsimony model"). Впрочем, каких-либо теоретических оснований, ведущих к предпочтению одной формы сезонности перед другой (мультипликативной или аддитивной), не существует.
Более подробно с сезонными ARMA моделями можно ознакомиться, например, в книге [Enders (1995)].
<< | >>
Источник: В.П.Носко. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. 2002

Еще по теме 2.6. Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности:

  1. § 8. Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности
  2. Справка о наличии ценностей, учитываемых на забалансовых счетах
  3. Глава 2. Стационарные ряды. Модели ARMA
  4. Подбор стационарной модели ARMA для ряда наблюдений
  5. Глава 3. Подбор стационарной модели ARMA для ряда наблюдений
  6. 3.1. Идентификация стационарной модели ARMA
  7. 5.1. Нестационарные ARMA модели
  8. 5.3. Различение TS и DS рядов в классе моделей ARMA. Гипотеза единичного корня.
  9. 6.6. Модели временных рядов с сезонными колебаниями
  10. § 7. Комбинированные процессы авторегрессии-скользящего среднего ARMA(p
  11. СЕЗОННЫЕ ЦИКЛЫ
  12. Индекс сезонности
  13. Сезонность рынка
  14. Сезонные колебания
  15. Сезонная корректировка ИПЦ
  16. Сезонные колебания
  17. Сезонная волна
  18. § 2. Использование фиктивных переменных в сезонном анализе
  19. § 3. Тренд, сезонные колебания и фиктивные переменные
- Бюджетна система України - Бюджетная система РФ - ВЕД України - ВЭД РФ - Государственное регулирование экономики России - Державне регулювання економіки в Україні - Инвестиции - Инновации - Инфляция - Информатика для экономистов - История экономики - История экономических учений - Коммерческая деятельность предприятия - Контроль и ревизия в России - Контроль і ревізія в Україні - Логистика - Макроэкономика - Математические методы в экономике - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Муніципальне та державне управління в Україні - Налоги и налогообложение - Организация производства - Основы экономики - Отраслевая экономика - Политическая экономия - Региональная экономика России - Стандартизация и управление качеством продукции - Теория управления экономическими системами - Товароведение - Философия экономики - Ценообразование - Эконометрика - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика отрасли - Экономика предприятий - Экономика природопользования - Экономика регионов - Экономика труда - Экономическая география - Экономическая история - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ -