1.1.2. Экспоненциально-взвешенные ковариации

Данный метод используется в методологии J.P. Morgan RiskMetrics™. Его специфика состоит в большем вкладе в ковариацию более поздних наблюдений. В этой модели зависящая от времени экспоненциально-взвешенная ковариационная матрица S t вычисляется следующим образом:

. (3)

Последнее выражение может быть преобразовано следующим образом:

, (4)

что представляет собой взвешенное среднее авторегрессии и скользящего среднего первого порядка, что позволяет отслеживать кластеры волатильности. Чем меньше значение множителя l , тем чувствительнее модель к изменениям, происходящим с временным рядом. С другой стороны, уменьшение значения l ведет к уменьшению эффективного размера выборки, что влияет на точность оценки ковариаций.

В принципе, для каждого временного ряда можно найти оптимальное значение l , при котором его вариация (в финансовой литературе также называемая волатильностью - volatility) наилучшим образом описывается авторегрессионным процессом (4). Это можно сделать, например, с помощью метода максимизации функции правдоподобия, как описано ниже.

Пусть имеется выборка , соответствующая ряду доходностей n имеющихся инструментов. Тогда функция совместной плотности распределения имеет вид

,

где - ковариационная матрица в момент t, вычисленная для значения l .

Функция правдоподобия в общем случае имеет вид

.

Оптимальное значение параметра l находится из решения следующей задачи оптимизации:

,

которую можно решать с помощью численных методов оптимизации.

Для удобства решения задачи оптимизации вместо самой функции правдоподобия используется ее логарифм

,

и таким образом задача нахождения оптимального параметра принимает вид

.

<< | >>
Источник: Лекции по управлению в банковской сфере. 2016

Еще по теме 1.1.2. Экспоненциально-взвешенные ковариации:

  1. 1.1. Метод вариаций-ковариаций
  2. Экспоненциальная волатильность
  3. ВЗВЕШЕННАЯ ЦЕНА ЗАКРЫТИЯ(WEIGHTED CLOSE)
  4. Экспоненциальный показатель среднего движения курса
  5. Мера риска Value-at-Risk (VaR)
  6. 1.1.3. GARCH – модели
  7. 1.1.1. Ковариационная матрица с равными весами
  8. Moving Average
  9. СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ(MOVING AVERAGES)
  10. Риск портфеля.
  11. 5.2.3. Уравнение цены САРМ и теоремы нерелевантности